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[数学分析] 定积分分部积分法

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发表于 2017-11-8 21:54:37 | 只看该作者 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式
定理(定积分分部积分法) 若$u(x)$,$v(x)$为$[a,b]$上的连续可微函数,则有定积分分部积分公式:
$$\int_a^b u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)|_a^b-\int_a^b u'(x)v(x)dx。$$

  为方便起见,公式允许写成
$$\int_a^b u(x)dv(x)=u(x)v(x)|_a^b-\int_a^b v(x)du(x)。$$
  若在$[a,b]$上$u(x)$、$v(x)$有$n+1$阶连续导函数,则有
$$\int_a^b u(x)v^{(n+1)}(x)dx=$$$$[u(x)v^{(n)}(x)-u'(x)v^{(n-1)}(x)+\cdots+(-1)^n u^{(n)}(x)v(x)]_a^b-(-1)^{n+1} \int_a^b u^{(n+1)}(x)v(x)dx,$$$$(n=1,2,\cdots)。$$
  这是推广的分部积分公式。
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