平面图形的面积

castelu

　　由连续曲线$y=f(x)$（$\ge 0$），以及直线$x=a$，$x=b$（$a<b$）和$x$轴所围曲边梯形的面积为
$$A=\int_a^b f(x)dx=\int_a^b ydx。$$
　　如果$f(x)$在$[a,b]$上不都是非负的，则所围图形的面积为
$$A=\int_a^b |f(x)|dx=\int_a^b |y|dx。$$
　　一般地，由上、下两条连续曲线$y=f_2(x)$与$y=f_1(x)$以及两条直线$x=a$与$x=b$（$a<b$）所围的平面图形，它的面积计算公式为
$$A=\int_a^b [f_2(x)-f_1(x)]dx。$$
　　设曲线$C$由极坐标方程
$$r=r(\theta)，\theta \in [\alpha,\beta]$$
　　给出，其中$r(\theta)$在$[\alpha,\beta]$上连续，$\beta-\alpha \le 2 \pi$。由曲线$C$与两条射线$\theta=\alpha$，$\theta=\beta$所围成的平面图形，通常也称为扇形。此扇形的面积计算公式为
$$A=\frac{1}{2} \int_{\alpha}^{\beta} r^2(\theta)d \theta。$$
　　这仍可由定积分的基本思想而得。对区间$[\alpha,\beta]$作任意分割
$$T: \alpha= \theta_0 < \theta_1 < \cdots < \theta_{n-1} < \theta_n = \beta，$$
　　射线$\theta= \theta_i(i=1,2,\cdots,n-1)$把扇形分成$n$个小扇形。由于$r(\theta)$是连续的，因此当$||T||$很小时，在每一个$\Delta_i=[\theta_{i-1},\theta_i]$上$r(\theta)$的值变化也很小。任取$\xi_i \in \Delta_i$，便有
$$r(\theta) \approx r(\xi_i)，\theta \in \Delta_i，i=1,2,\cdots,n。$$
　　这时，第$i$个小扇形的面积
$$\Delta A_i \approx \frac{1}{2}r^2(\xi_i) \Delta \theta_i，$$
　　于是
$$A \approx \sum\limits_{i=1}^n \frac{1}{2}r^2(\xi_i) \Delta \theta_i。$$
　　由定积分的定义和连续函数的可积性，当$||T|| \to 0$时，上式右边的极限即为公式中的定积分。