瑕积分的收敛判别

castelu

　　类似于无穷积分的Cauchy收敛准则，瑕积分同样可由函数极限$\lim\limits_{u \rightarrow a^+} \int_u^b f(x)dx=\int_a^b f(x)dx$的原意写出相应的命题。

定理1（Cauchy准则）　瑕积分$\int_a^b f(x)dx$（瑕点为$a$）收敛的充要条件是：任给$\epsilon>0$，存在$\delta>0$，只要$u_1$、$u_2 \in (a,a+\delta)$，总有
$$|\int_{u_1}^b f(x)dx-\int_{u_2}^b f(x)dx|=|\int_{u_1}^{u_2} f(x)dx|< \epsilon。$$

　　判断瑕积分绝对收敛的比较法则及其推论如下：

定理2（比较法则）　设定义在$(a,b]$上的两个函数$f$与$g$，瑕点同为$x=a$，在任何$[u,b] \subset (a,b]$上都可积，且满足
$$|f(x)| \le g(x)，x \in (a,b]。$$
　则当$\int_a^b g(x)dx$收敛时，$\int_a^b |f(x)|dx$必定收敛（或者，当$\int_a^b |f(x)|dx$发散时，$\int_a^b g(x)dx$亦必发散）。

推论1　又若$g(x)>0$，且$\lim\limits_{x \rightarrow a^+} \frac{|f(x)|}{g(x)}=c$，则有：
（i）当$0<c<+\infty$时，$\int_a^b |f(x)|dx$与$\int_a^b g(x)dx$同敛态；
（ii）当$c=0$时，由$\int_a^b g(x)dx$收敛可推知$\int_a^b |f(x)|dx$也收敛；
（iii）当$c=+\infty$时，由$\int_a^b g(x)dx$发散可推知$\int_a^b |f(x)|dx$也发散。

　　当选用$\int_a^b \frac{dx}{(x-a)^p}$作为比较对象$\int_a^b g(x)dx$时，比较法则及其推论1成为如下的推论：

推论2　设$f$定义于$(a,b]$，$a$为其瑕点，且在任何$[u,b] \subset (a,b]$上可积，则有：
（i）当$|f(x)| \le \frac{1}{(x-a)^p}$，且$0<p<1$时$\int_a^b |f(x)|dx$收敛；
（ii）当$|f(x)| \ge \frac{1}{(x-a)^p}$，且$p \ge 1$时$\int_a^b |f(x)|dx$发散。

推论3　设$f$定义于$(a,b]$，$a$为其瑕点，且在任何$[u,b] \subset (a,b]$上可积。如果
$$\lim\limits_{x \rightarrow a^+} (x-a)^p|f(x)| \equiv \lambda，$$
　　则有：
（i）当$0<p<1$，$0 \le \lambda < +\infty$时$\int_a^b |f(x)|dx$收敛；
（ii）当$p \ge 1$，$0 < \lambda \le +\infty$时，$\int_a^b |f(x)|dx$发散。