函数项级数

castelu

　　设${u_n(x)}$是定义在数集$E$上的一个函数列，表达式
$$u_1(x)+u_2(x)+\cdots+u_n(x)+\cdots，x \in E$$
　　称为定义在$E$上的函数项级数，简记为$\sum\limits_{i=1}^{\infty} u_n(x)$或$\sum\limits u_n(x)$，称
$$S_n(x)=\sum\limits_{k=1}^n u_k(x)，x \in E，n=1,2,\cdots$$
　　为函数项级数的部分和函数列。
　　若$x_0 \in E$，数项级数
$$u_1(x_0)+u_2(x_0)+\cdots+u_n(x_0)+\cdots$$
收敛，即部分和$S_n(x_0)=\sum\limits_{k=1}^n u_k(x_0)$当$n \to \infty$时极限存在，则称函数项级数在点$x_0$收敛，$x_0$称为级数的收敛点。若数项级数发散，则称函数项级数在点$x_0$发散。若数项级数在$E$的某个子集$D$上每点都收敛，则称函数项级数在$D$上收敛。若$D$为函数项级数全体收敛点的集合，这时则称$D$为函数项级数的收敛域。函数项级数在$D$上每一点$x$与其对应的数项级数的和$S(x)$构成一个定义在$D$上的函数，称为函数项级数的和函数，并写作
$$u_1(x)+u_2(x)+\cdots+u_n(x)+\cdots=S(x)，x \in D，$$
　　即
$$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}S_n(x)=S(x)，x \in D。$$
　　也就是说，函数项级数的收敛性就是指它的部分和函数列的收敛性。
　　函数项级数的一致收敛性定义如下：

定义　设${S_n(x)}$是函数项级数$\sum\limits u_n(x)$的部分和函数列。若${S_n(x)}$在数集$D$上一致收敛于函数$S(x)$，则称函数项级数$\sum\limits u_n(x)$在$D$上一致收敛于函数$S(x)$，或称$\sum\limits u_n(x)$在$D$上一致收敛。

　　由于函数项级数的一致收敛性是由它的部分和函数列来确定，所以由有关函数列一致收敛的定理，都可推出相应的有关函数项级数的定理：

定理1（一致收敛的Cauchy准则）　函数项级数$\sum\limits u_n(x)$在数集$D$上一致收敛的充要条件为：对任给的正数$\epsilon$，总存在某正整数$N$，使得当$n>N$时，对一切$x \in D$和一切正整数$p$，都有
$$|S_{n+p}(x)-S_n(x)|< \epsilon$$
　　或
$$|u_{n+1}(x)+u_{n+2}(x)+\cdots+u_{n+p}(x)|< \epsilon$$

　　此定理中当$p=1$时，得到函数项级数一致收敛的一个必要条件。

推论　函数项级数$\sum\limits u_n(x)$在数集$D$上一致收敛的必要条件是函数列${u_n(x)}$在$D$上一致收敛于零。

　　设函数项级数$\sum\limits u_n(x)$在$D$上的和函数为$S(x)$，称
$$R_n(x)=S(x)-S_n(x)$$
　　为函数项级数$\sum\limits u_n(x)$的余项。

定理2　函数项级数$\sum\limits u_n(x)$在数集$D$上一致收敛于$S(x)$的充要条件是
$$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\sup\limits_{x \in D}|R_n(x)|=\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\sup\limits_{x \in D}|S(x)-S_n(x)|=0。$$

　　判断函数项级数的一致收敛性除了根据定义或定理2外，有些级数还可根据级数各项的特性来判别。

定理3（Weierstrass判别法）　设函数项级数$\sum\limits u_n(x)$定义在数集$D$上，$\sum\limits M_n$为收敛的正项级数，若对一切$x \in D$，有
$$|u_n(x)| \le M_n，n=1,2,\cdots，$$
　　则函数项级数$\sum\limits u_n(x)$在$D$上一致收敛。
　　定理3也称为$M$判别法或优级数判别法。当级数$\sum\limits u_n(x)$与级数$\sum\limits M_n$在区间$[a,b]$上成立上述关系式时，则称级数$\sum\limits M_n$在$[a,b]$上优于级数$\sum\limits u_n(x)$，或称$\sum\limits M_n$为$\sum\limits u_n(x)$的优级数。

　　下面讨论定义在区间$I$上形如
$$\sum\limits u_n(x)v_n(x)=u_1(x)v_1(x)+u_2(x)v_2(x)+\cdots+u_n(x)v_n(x)+\cdots$$
　　的函数项级数的一致收敛性判别法，它与数项级数一样，也是基于Abel分部求和公式。

定理4（Abel判别法）　设
（i）$\sum\limits u_n(x)$在区间$I$上一致收敛；
（ii）对于每一个$x \in I$，$|v_n(x)|$是单调的；
（iii）$|v_n(x)|$在$I$上一致有界，即对一切$x \in I$和正整数$n$，存在正数$M$，使得
$$|v_n(x)| \le M，$$
　　则级数$\sum\limits u_n(x)v_n(x)$在$I$上一致收敛。

定理5（Dirichlet判别法）　设
（i）$\sum\limits u_n(x)$的部分和函数列
$$U_n(x)=\sum\limits_{k=1}^n u_k(x)（n=1,2,\cdots）$$
　　在$I$上一致有界；
（ii）对于每一个$x \in I$，$|v_n(x)|$是单调的；
（iii）在$I$上$v_n(x) \Rightarrow 0(n \to \infty)$，
　　则级数$\sum\limits u_n(x)v_n(x)$在$I$上一致收敛。