三角级数

castelu

　　在科学实验与工程技术的某些现象中，常会碰到一种周期运动。最简单的周期运动，可用正弦函数
$$y=A\sin(\omega x+\phi)$$
　　来描写。由上式所表达的周期运动也称为简谐振动，其中$A$为振幅，$\phi$为初相角，$\omega$为角频率，于是简谐振动$y$的周期是$T=frac{2\pi}{\omega}$。较为复杂的周期运动，则常是几个简谐振动
$$y_k=A_k\sin(k\omega x+\phi_k)，k=1,2,\cdots,n$$
　　的叠加
$$y=\sum\limits_{k=1}^ny_k=\sum\limits_{k=1}^nA_k\sin(k\omega x+\phi_k)。$$
　　由于简谐振动$y_k$的周期为$\frac{T}{k}(T=\frac{2\pi}{\omega})$，$k=1,2,\cdots,n$，所以函数$y$的周期为$T$。对无穷多个简谐振动进行叠加就得到函数项级数
$$A_0+\sum\limits_{n=1}^{\infty}A_n\sin (n\omega x+\phi_n)。$$
　　若级数收敛，则它所描述的是更为一般的周期运动现象。对于级数，我们只要讨论$\omega=1$（如果$\omega \ne 1$，可用$\omega x$代换$x$）的情形。由于
$$\sin (nx+\phi_n)=\sin \phi_n\cos nx+\cos \phi_n\sin nx，$$
　　所以
$$A_0+\sum\limits_{n=1}^{\infty}A_n\sin (n\omega x+\phi_n)$$
$$=A_0+\sum\limits_{n=1}^{\infty}(A_n\sin \phi_n\cos nx+A_n\cos \phi_n\sin nx)。$$
　　记$A_0=\frac{a_0}{2}$，$A_n\sin \phi_n=a_n$，$A_n\cos \phi_n=b_n$，$n=1,2,\cdots$，
　　则级数可写成
$$\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nx+b_n\sin nx)。$$
　　它是由三角函数列（也称为三角函数系）
$$1，\cos x，\sin x，\cos 2x，\sin 2x，\cdots，\cos nx，\sin nx，\cdots，$$
所产生的一般形式的三角级数。
　　容易验证，若三角级数收敛，则它的和一定是一个以$2\pi$为周期的函数。
　　关于三角函数的收敛性有如下定理：

定理　若级数
$\frac{|a_0|}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}(|a_n|+|b_n|)$收敛，则三角级数在整个数轴上绝对收敛且一致收敛。

　　为进一步研究三角级数的收敛性，我们先探讨三角函数系具有哪些特性。
　　首先容易看出，三角函数系中所有函数具有共同的周期$2\pi$。
　　其次，在三角函数系中，任何两个不相同的函数的乘积在$[-\pi,\pi]$上的积分都等于零，即
$$\int_{-\pi}^{\pi} \cos nxdx=\int_{-\pi}^{\pi} \sin nxdx=0，$$$$\left\{ \begin{array}{l} \int_{-\pi}^{\pi} \cos mx \cos nxdx=0,m \ne n\\ \int_{-\pi}^{\pi} \sin mx \sin nxdx=0,m \ne n\\ \int_{-\pi}^{\pi} \cos mx \sin nxdx=0 \end{array} \right.$$
而任何一个函数的平方在$[-\pi,\pi]$上的积分都不等于零，即
$$\left\{ \begin{array}{l} \int_{-\pi}^{\pi} \cos^2 nxdx=\int_{-\pi}^{\pi} \sin^2 nxdx=\pi\\ \int_{-\pi}^{\pi} 1^2dx=2\pi \end{array} \right.$$
　　通常把两个函数$\phi$与$\psi$在$[a,b]$上可积，且
$$\int_a^b \phi(x)\psi(x)dx=0$$
的函数$\phi$与$\psi$称为在$[a,b]$上是正交的。由此，我们说三角函数系在$[-\pi,\pi]$上具有正交性，或说是正交函数系。