二元函数

castelu

定义　设平面点集$D \subset R^2$，若按照某对应法则$f$，$D$中每一点$P(x,y)$都有惟一确定的实数$z$与之对应，则称$f$为定义在$D$上的二元函数（或称$f$为$D$到$R$的一个映射），记作
$$f: D \to R，$$
$$P \mapsto z，$$
　　且称$D$为$f$的定义域；$P \in D$所对应的$z$为$f$在点$P$的函数值，记作$z=f(P)$或$z=f(x,y)$；全体函数值的集合为$f$的值域，记作$f(D) \subset R$，通常还把$P$的坐标$x$与$y$称为$f$的自变量，而把$z$称为因变量。
　　在映射意义下，上述$z=f(P)$称为$P$的象，$P$称为$z$的原象。当把$(x,y) \in D$和它所对应的象$z=f(x,y)$一起组成三维数组$(x,y,z)$时，三维欧式空间$R^3$中的点集
$$S=\left\{(x,y,z)|z=f(x,y),(x,y) \in D) \right\} \subset R^3$$
　　便是二元函数$f$的图象。通常$z=f(x,y)$的图象是一空间曲面，$f$的定义域$D$便是该曲面在$xOy$平面上的投影。
　　为方便起见，由上式所确定的二元函数也记作
$$z=f(x,y)，(x,y) \in D$$
　　或
$$z=f(P)，P \in D，$$
　　且当它的定义域$D$不会被误解的情况下，也简单地说“函数$z=f(x,y)$”或“函数$f$”。
　　若二元函数的值域是有界数集，则称该函数为有界函数；若值域是无界数集，则称该函数为无界函数。