二元函数中值定理

castelu

定理（中值定理）　设二元函数$f$在凸开域$D \subset R^2$上连续，在$D$的所有内点都可微，则对$D$内任意两点$P(a,b)$，$Q(a+h,b+k) \in D$，存在某$\theta$（$0< \theta <1$），使得
$$f(a+h,b+k)-f(a,b)=f_x(a+\theta h,b+\theta k)h+f_y(a+\theta h,b+\theta k)k。$$

注意　若$D$是闭凸域，且对$D$上任意两点$P_1(x_1,y_1)$，$P_2(x_2,y_2)$及任意$\lambda$（$0< \lambda <1$），都有
$$P(x_1+\lambda(x_2-x_1),y_1+\lambda(y_2-y_1)) \in {\rm int} D，$$
　　则对$D$上连续，${\rm int} D$内可微的函数$f$，只要$P$，$Q \in D$，也存在$\theta \in (0,1)$使公式成立。
　　公式也称为二元函数（在凸域上）的中值公式。

推论　若函数$f$在区域$D$上存在偏导数，且
$$f_x=f_y \equiv 0，$$
　　则$f$在区域$D$上为常量函数。