反函数组

castelu

　　设函数组
$$u=u(x,y)，v=v(x,y)$$
　　是定义在$xy$平面点集$B \subset R^2$上的两个函数，对每一点$P(x,y) \in B$，由方程组有$uv$平面上惟一的一点$Q(u,v) \in R^2$与之对应。我们称方程组确定了$B$到$R^2$的一个映射（变换），记作$T$。这时映射可写成如下函数形式
$$T: B \to R^2，$$
$$P(x,y) \mapsto Q(u,v)$$
　　或写成点函数形式$Q=T(P)$，$P \in B$，并称$Q(u,v)$为映射$T$下$P(x,y)$的象，而$P$则是$Q$的原象。记$B$在映射$T$下的象集为$B'=T(B)$。
　　反过来，若$T$为一一映射（即不仅每一原象只对应一个象，而且不同的原象对应不同的象）。这时每一点$Q \in B'$，由方程组都有惟一的一点$P \in B$与之相对应。由此所产生的新映射称为映射$T$的逆映射（逆变换），记作$T^(-1)$，即
$$T^{-1}:B' \to B，$$
$$Q \mapsto P$$
　　或
$$P=T^{-1}(Q)，Q \in B'。$$
　　亦即存在定义在$B'$上的一个函数组
$$x=x(u,v)，y=y(u,v)，$$
　　把它代入
$$u=u(x,y)，v=v(x,y)$$
　　而成为恒等式：
$$u \equiv u(x(u,v),y(u,v))，v \equiv v(x(u,v),y(u,v))，$$
　　这时我们又称函数组
$$x=x(u,v)，y=y(u,v)$$
　　是函数组
$$u=u(x,y)，v=v(x,y)$$
　　的反函数组。