空间曲线的切线与法平面

castelu

　　讨论由参数方程
$$L:x=x(t)，y=y(t)，z=z(t)，\alpha \le t \le \beta$$
　　表示的空间曲线$L$上某一点$P_0(x_0,y_0,z_0)$处的切线和法平面方程，这里$x_0=x(t_0)$，$y_0=y(t_0)$，$z_0=z(t_0)$，$\alpha \le t_0 \le \beta$，并假定上式中的三个函数在$t_0$处可导，且
$$[x'(t_0)]^2+[y'(t_0)]^2+[z'(t_0)]^2 \ne 0。$$
　　在曲线$L$上点$P_0$附近选取一点$P(x,y,z)=P(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y,z_0+\Delta z)$，于是连接$L$上的点$P_0$与$P$的割线方程为
$$\frac{x-x_0}{\Delta x}=\frac{y-y_0}{\Delta y}=\frac{z-z_0}{\Delta z}，$$
　　其中$\Delta x=x(t_0+\Delta t)-x(t_0)$，$\Delta y=y(t_0+\Delta t)-y(t_0)$，$\Delta z=z(t_0+\Delta t)-z(t_0)$。以$\Delta t$除上式各分母，得
$$\frac{x-x_0}{\frac{\Delta x}{\Delta t}}=\frac{y-y_0}{\frac{\Delta y}{\Delta t}}=\frac{z-z_0}{\frac{\Delta z}{\Delta t}}。$$
　　当$\Delta t \to 0$时，$P \to P_0$，且
$$\frac{\Delta x}{\Delta t} \to x'(t_0)，\frac{\Delta y}{\Delta t} \to y'(t_0)，\frac{\Delta z}{\Delta t} \to z'(t_0)，$$
　　即得曲线$L$在$P_0$处的切线方程为
$$\frac{x-x_0}{x'(t_0)}=\frac{y-y_0}{y'(t_0)}=\frac{z-z_0}{z'(t_0)}。$$
　　由此可见，当$x'(t_0)$，$y'(t_0)$，$z'(t_0)$不全为零时，它们是该切线的方向数。
　　过点$P_0$可以作无穷多条直线与切线$l$垂直，所有这些直线都在同一平面上，称这平面为曲线$L$在点$P_0$处的法平面。它通过点$P_0$，且以$L$在$P_0$的切线$l$为它的法线，所以法平面$n$的方程为
$$x'(t_0)(x-x_0)+y'(t_0)(y-y_0)+z'(t_0)(z-z_0)=0。$$
　　当空间曲线$L$由方程组
$$L:\left\{ \begin{array}{l} F(x,y,z)=0\\ G(x,y,z)=0 \end{array} \right.$$
　　给出时，若它在点$P_0(x_0,y_0,z_0)$的某邻域内满足隐函数组定理的条件（这里不妨设$\frac{\partial (F,G)}{\partial (x,y)}|_{P_0} \ne 0$），则方程组在点$P_0$附近能确定惟一连续可微的隐函数组
$$x=\phi(z)，y=\psi(z)，$$
　　使得$x_0=\phi(z_0)$，$y_0=\psi(z_0))$，且
$$\frac{dx}{dz}=-\frac{\frac{\partial (F,G)}{\partial (z,y)}}{\frac{\partial (F,G)}{\partial (x,y)}}，\frac{dy}{dz}=-\frac{\frac{\partial (F,G)}{\partial (x,z)}}{\frac{\partial (F,G)}{\partial (x,y)}}。$$
　　由于在点$P_0$附近方程组
$$L:\left\{ \begin{array}{l} F(x,y,z)=0\\ G(x,y,z)=0 \end{array} \right.$$
　　与函数组
$$x=\phi(z)，y=\psi(z)，$$
　　表示同一空间曲线，因此以$z$为参量时，就得到点$P_0$附近曲线$L$的参量方程：
$$x=\phi(z)，y=\psi(z)，z=z。$$
　　于是由
$$\frac{x-x_0}{x'(t_0)}=\frac{y-y_0}{y'(t_0)}=\frac{z-z_0}{z'(t_0)}$$
　　曲线在$P_0$处的切线方程为
$$\frac{x-x_0}{\frac{dx}{dz}|_{P_0}}=\frac{y-y_0}{\frac{dy}{dz}|_{P_0}}=\frac{z-z_0}{1}，$$
　　即
$$\frac{x-x_0}{\frac{\partial (F,G)}{\partial (y,z)}|_{P_0}}=\frac{y-y_0}{\frac{\partial (F,G)}{\partial (z,x)}|_{P_0}}=\frac{z-z_0}{\frac{\partial (F,G)}{\partial (x,y)}|_{P_0}}。$$
　　按
$$x'(t_0)(x-x_0)+y'(t_0)(y-y_0)+z'(t_0)(z-z_0)=0$$
　　曲线在$P_0$处的法平面方程为
$$\frac{\partial (F,G)}{\partial (y,z)}|_{P_0}(x-x_0)+\frac{\partial (F,G)}{\partial (z,x)}|_{P_0}(y-y_0)+\frac{\partial (F,G)}{\partial (x,y)}|_{P_0}(z-z_0)=0。$$
　　同样可推出：当$\frac{\partial (F,G)}{\partial (z,y)}$或$\frac{\partial (F,G)}{\partial (z,x)}$在$P_0$处不等于零时，曲线在$P_0$处的切线与法平面方程仍分别取上两式的形式。由此可见，当
$$\frac{\partial (F,G)}{\partial (y,z)}|_{P_0}，\frac{\partial (F,G)}{\partial (z,x)}|_{P_0}，\frac{\partial (F,G)}{\partial (x,y)}|_{P_0}$$
　　不全为零时，它们是空间曲线
$$L:\left\{ \begin{array}{l} F(x,y,z)=0\\ G(x,y,z)=0 \end{array} \right.$$
　　在$P_0$处的切线的方向数。