含参量反常积分

castelu

　　设函数$f(x,y)$定义在无界区域$R=\left\{(x,y)|a \le x \le b,c \le y < +\infty \right\}$上，若对每一个固定的$x \in [a,b]$，反常积分
$$\int_c^{+\infty} f(x,y)dy$$
　　都收敛，则它的值是$x$在$[a,b]$上取值的函数，当记这个函数为$I(x)$时，则有
$$I(x)=\int_c^{+\infty} f(x,y)dy，x \in [a,b]，$$
　　称上式为定义在$[a,b]$上的含参量$x$的无穷限反常积分，或简称含参量反常积分。
　　如同反常积分与数项级数的关系那样，含参量反常积分与函数项级数在所研究的问题与论证方法上也极为相似。
　　首先引入含参量反常积分的一致收敛概念及Cauchy准则。

定义1　若含参量反常积分
$$\int_c^{+\infty} f(x,y)dy$$
　　与函数$I(x)$对任给的正数$\epsilon$，总存在某一实数$N>c$，使得当$M>N$时，对一切$x \in [a,b]$，都有
$$|\int_c^M f(x,y)dy-I(x)|<\epsilon，$$
　　即
$$|\int_M^{+\infty} f(x,y)dy|<\epsilon，$$
　　则称含参量反常积分
$$\int_c^{+\infty} f(x,y)dy$$
　　在$[a,b]$上一致收敛于$I(x)$，或简单地说含参量积分
$$\int_c^{+\infty} f(x,y)dy$$
　　在$[a,b]$上一致收敛。

　　设$f(x,y)$在区域$R=[a,b] \times [c,d)$上有定义。若对$x$的某些值，$y=d$为函数$f(x,y)$的瑕点，则称
$$\int_c^d f(x,y)dy$$
　　为含参量$x$的无界函数反常积分，或简称为含参量反常积分。若对每一个$x \in [a,b]$，积分都收敛，则其积分值是$x$在$[a,b]$上取值的函数。含参量反常积分
$$\int_c^d f(x,y)dy$$
　　在$[a,b]$上一致收敛的定义是：

定义2　对任给正数$\epsilon$，总存在某正数$\delta<d-c$，使得当$0<\eta<\delta$时，对一切$x \in [a,b]$，都有
$$|\int_{d-\eta}^d f(x,y)dy|<\epsilon，$$
　　则称含参量反常积分
$$\int_c^d f(x,y)dy$$
　　在$[a,b]$上一致收敛。

定理1（一致收敛的Cauchy准则）　含参量反常积分
$$\int_c^{+\infty} f(x,y)dy$$
　　在$[a,b]$上一致收敛的充要条件是：对任给正数$\epsilon$，总存在某一实数$M>c$，使得当$A_1$，$A_2>M$时，对一切$x \in [a,b]$，都有
$$|\int_{A_1}^{A_2} f(x,y)dy|<\epsilon。$$

　　关于含参量反常积分一致收敛性与函数项级数一致收敛之间的联系有下述定理。

定理2　含参量反常积分
$$\int_c^{+\infty} f(x,y)dy$$
　　在$[a,b]$上一致收敛的充要条件是：对任一趋于$+\infty$的递增数列${A_n}$（其中$A_1$=c），函数项级数
$$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \int_{A_n}^{A_{n+1}} f(x,y)dy=\sum\limits_{n=1}^{\infty} u_n(x)$$
　　在$[a,b]$上一致收敛。
　　下面列出含参量反常积分的一致收敛性判别法。

Weierstrass M判别法　设有函数$g(y)$，使得
$$|f(x,y)| \le g(y)，a \le x \le b，c \le y \le +\infty。$$
　　若$\int_c^{+\infty} g(y)dy$收敛，则$\int_c^{+\infty} f(x,y)dy$在$[a,b]$上一致收敛。

Dirichlet判别法　设
（i）对一切实数$N>c$，含参量正常积分
$$\int_c^N f(x,y)dy$$
　　对参量$x$在$[a,b]$上一致有界，即存在正数$M$，对一切$N>c$及一切$x \in [a,b]$，都有
$$|\int_c^N f(x,y)dy| \le M；$$
（ii）对每一个$x \in [a,b]$，函数$g(x,y)$关于$y$是单调递减且当$y=+\infty$时，对参量$x$，$g(x,y)$一致地收敛于$0$，
　　则含参量反常积分
$$\int_c^{+\infty} f(x,y)g(x,y)dy$$
　　在$[a,b]$上一致收敛。

Abel判别法　设
（i）$\int_c^{+\infty} f(x,y)dy$在$[a,b]$上一致收敛；
（ii）对每一个$x \in [a,b]$，函数$g(x,y)$为$y$的单调函数，且对参量$x$，$g(x,y)$在$[a,b]$上一致有界，
　　则含参量反常积分
$$\int_c^{+\infty} f(x,y)g(x,y)dy$$
　　在$[a,b]$上一致收敛。

定理3（连续性）　设$f(x,y)$在$[a,b] \times [c,+\infty)$上连续，若含参量反常积分
$$I(x)=\int_c^{+\infty} f(x,y)dy$$
　　在$[a,b]$上一致收敛，则$I(x)$在$[a,b]$上连续。

　　这个定理也表明，在一致收敛的条件下，极限运算与积分运算可以交换：
$$\lim\limits_{x \rightarrow x_0} \int_c^{+\infty} f(x,y)dy=\int_c^{+\infty} f(x_0,y)dy=\int_c^{+\infty} \lim\limits_{x \rightarrow x_0}f(x,y)dy。$$

定理4（可微性）　设$f(x,y)$与$f_x(x,y)$在区域$[a,b] \times [c,+\infty)$上连续。若$I(x)=\int_c^{+\infty} f(x,y)dy$在$[a,b]$上收敛，$\int_c^{+\infty} f_x(x,y)dy$在$[a,b]$上一致收敛，则$I(x)$在$[a,b]$上可微，且
$$I'(x)=\int_c^{+\infty} f_x(x,y)dy。$$

　　这个定理也表明，在一致收敛的条件下，求导运算与积分运算可以交换：
$$\frac{d}{dx} \int_c^{+\infty} f(x,y)dy=\int_c^{+\infty} \frac{\partial}{\partial x} f(x,y)dy。$$

定理5（可积性）　设$f(x,y)$在$[a,b] \times [c,+\infty)$上连续，若$I(x)=\int_c^{+\infty} f(x,y)dy$在$[a,b]$上一致收敛，则$I(x)$在$[a,b]$上可积，且
$$\int_a^b dx \int_c^{+\infty} f(x,y)dy=\int_c^{+\infty} dy \int_a^b f(x,y)dx。$$

　　这个定理也表明，在一致收敛的条件下，积分运算顺序可以交换：
$$\int_a^b I(x) dx=\int_c^{+\infty} dy \int_a^b f(x,y)dx。$$

　　当定理5中$x$的取值范围为无限区间$[a,+\infty)$时，则有如下的定理：

定理6　设$f(x,y)$在$[a,+\infty) \times [c,+\infty)$上连续。若
（i）$\int_a^{+\infty} f(x,y)dx$关于$y$在任何闭区间$[c,d]$上一致收敛，$\int_c^{+\infty} f(x,y)dy$关于$x$在任何闭区间$[a,b]$上一致收敛；
（ii）积分
$$\int_a^{+\infty} dx \int_c^{+\infty} |f(x,y)|dy与\int_c^{+\infty} dy \int_a^{+\infty} |f(x,y)|dx$$ 中有一个收敛，
　　则
$$\int_a^{+\infty} dx \int_c^{+\infty} f(x,y)dy=\int_c^{+\infty} dy \int_a^{+\infty} f(x,y)dx。$$