两类曲线积分的联系

castelu

　　虽然第一型曲线积分与第二型曲线积分有着不同的特性，但在一定条件下，如在规定了曲线的方向之后，可以建立它们之间的联系。
　　设$L$为从$A$到$B$的有向光滑曲线，它以弧长$s$为参数，于是
$$L:\left\{ \begin{array}{l} x=x(s)\\ y=y(s) \end{array} \right.0 \le s \le l，$$
　　其中$l$为曲线$L$的全长，且点$A$与$B$的坐标分别为$(x(0),y(0))$与$(x(l),y(l))$。曲线$L$上每一点的切线方向指向弧长增加的一方。现以$(t,x)$，$(t,y)$分别表示切线方向$t$与$x$轴与$y$轴正向的夹角，则在曲线上的每一点的切线方向余弦是
$$\frac{dx}{ds}=\cos (t,x)，\frac{dy}{ds}=\cos (t,y)。$$
　　若$P(x,y)$，$Q(x,y)$为曲线$L$上的连续函数，则由
$$\int_L P(x,y)dx+Q(x,y)dy$$
$$=\int_{\alpha}^{\beta} [P(\phi(t),\psi(t))\phi'(t)+Q(\phi(t),\psi(t))\psi'(t)]dt$$
　　得
$$\int_L Pdx+Qdy$$
$$=\int_0^l [P(x(s),y(s))\cos (t,x)+Q(x(s),y(s))\cos (t,y)]ds$$
$$=\int_L [P(x,y)\cos (t,x)+Q(x,y)\cos (t,y)]ds，$$
　　最后一个等式是根据第一型曲线积分化为定积分的公式。
　　这里必须指出，当上式左边第二型曲线积分中$L$改变方向时，积分值改变符号，相应在上式右边第一型曲线积分中，曲线上各点的切线方向指向相反的方向（即指向弧常减少的方向）。这时夹角$(t,x)$和$(t,y)$分别与原来的夹角相差一个弧度$\pi$，从而$\cos (t,x)$和$\cos (t,y)$都要变号。因此，一旦方向确定了，上式总是成立的。
　　这样，根据条件和公式便建立了两种不同类型曲线积分之间的联系。