平面有界图形的面积

castelu

　　所谓一个平面图形$P$是有界的，是指构成这个平面图形的点集是平面上的有界点集，即存在一矩形$R$，使得$P \subset R$。
　　设$P$是一平面有界图形，用某一平行于坐标轴的一组直线网$T$分割这个图形。这时直线网$T$的网眼——小闭矩形$\Delta_i$可分为三类：
（i）$\Delta_i$上的点都是$P$的内点；
（ii）$\Delta_i$上的点都是$P$的外点，即$\Delta_i \cap \overline P = \emptyset$；
（iii）$\Delta_i$上含有$P$的边界点。
　　我们将所有属于直线网$T$的第（i）类小矩形的面积加起来，记这个和数为$s_P(T)$，则有$s_P(T) \le \Delta_R$（这里$\Delta_R$表示包含$P$的那个矩形$R$的面积）；将所有第（i）类与第（iii）类小矩形的面积加起来，记这个和数为$S_P(T)$，则有$s_P(T) \le S_P(T)$。
　　由确界存在定理可以推得，对于平面上所有直线网，数集$\left\{s_P(T) \right\}$有上确界，数集$\left\{S_P(T) \right\}$有下确界，记
$$\underline {I_P}=\sup\limits_T {s_P(T)}，\overline {I_P}=\inf\limits_T {S_P(T)}。$$
　　显然有
$$0 \le \underline {I_P} \le \overline {I_P}。$$
通常称$\underline {I_P}$为$P$的内面积，$\overline {I_P}$为$P$的外面积。

定义　若平面图形$P$的内面积$\underline {I_P}$等于它的外面积$\overline {I_P}$，则称$P$为可求面积，并称其共同值$I_P=\underline {I_P}=\overline {I_P}$为$P$的面积。

定理1　平面有界图形$P$可求面积的充要条件是：对任给的$\epsilon>0$，总存在直线网$T$，使得
$$S_P(T)-s_P(T)<\epsilon。$$

推论　平面有界图形$P$的面积为零的充要条件是它的外面积$\overline {I_P}=0$，即对任给的$\epsilon>0$，存在直线网$T$，使得
$$S_P(T)<\epsilon，$$

　　或对任给的$\epsilon>0$，平面图形$P$能被有限个其面积总和小于$\epsilon$的小矩形所覆盖。

定理2　平面有界图形$P$可求面积的充要条件是：$P$的边界$K$的面积为零。

定理3　若曲线$K$为由定义在$[a,b]$上的连续函数$f(x)$的图象，则曲线$K$的面积为零。

　　我们还可证明：由参量方程$x=\phi(t)$，$y=\psi(t)$（$\alpha \le \beta$）所表示的平面光滑曲线（即$\phi$，$\psi$在$[\alpha,\beta]$上具有连续的导函数）或按段光滑曲线，其面积一定为零。