曲线积分与路线的无关性

castelu

　　讨论曲线积分在什么条件下，它的值与所沿路线的选取无关。
　　首先，介绍单连通区域的概念。
　　若对于平面区域$D$内一封闭曲线，皆可不经过$D$以外的点而连续收缩于属于$D$的某一点，则称此平面区域为单连通区域；否则称为复连通区域。单连通区域也可以这样叙述：$D$内任一封闭曲线所围成的区域内只含有$D$中的点。更通俗地说，单连通区域是没有“洞”的区域，复连通区域是有“洞”的区域。

定理　设$D$是单连通闭区域。若函数$P(x,y)$，$Q(x,y)$在$D$内连续，且具有一阶连续偏导数，则以下四个条件等价：
（i）沿$D$内任一按段光滑封闭曲线$L$，有
$$\oint_L Pdx+Qdy=0；$$
（ii）对$D$中任一按段光滑曲线$L$，曲线积分
$$\int_L Pdx+Qdy$$
与路线无关，只与$L$的起点及终点有关；
（iii）$Pdx+Qdy$是$D$内某一函数$u(x,y)$的全微分，即在$D$内有
$$du=Pdx+Qdy；$$
（iv）在$D$内处处成立
$$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}。$$