重积分的应用

castelu

　　设$D$为可求面积的平面有界区域，函数$f(x,y)$在$D$上具有连续的一阶偏导数，讨论由方程
$$z=f(x,y)，(x,y) \in D$$
　　所确定的曲面$S$的面积。
　　为了定义曲面$S$的面积，对区域$D$作分割$T$，它把$D$分成$n$个小区域$\sigma_i$（$i=1,2,\cdots,n$）。根据这个分割相应地将曲面$S$也分成$n$个小曲面片$S_i$（$i=1,2,\cdots,n$）。在每个$S_i$上任取一点$M_i$，作曲面在这一点的切平面$\pi_i$，并在$\pi_i$上取出一小块$A_i$，使得$A_i$与$S_i$在$xy$平面上的投影都是$\sigma_i$。现在点$M_i$附近，用切平面$A_i$代替小曲面片$S_i$，从而当$||T||$充分小时，有
$$\Delta S=\sum\limits_{i=1}^n \Delta S_i \approx \sum\limits_{i=1}^n \Delta A_i，$$
　　这里$\Delta S$，$\Delta S_i$，$\Delta A_i$分别表示曲面$S$，小曲面片$S_i$，小切平面块$A_i$的面积。所以当$||T|| \to 0$时，可用和式$\sum\limits_{i=1}^n \Delta A_i$的极限作为$S$的面积。
　　现在按照上述给出的曲面面积的概念，来建立曲面面积的计算公式。
　　首先计算$A_i$的面积。由于切平面$\pi_i$的法向量就是曲面$S$在点$M_i(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)$处的法向量，记它与$z$轴的夹角为$\gamma_i$，则
$$|\cos \gamma_i|=\frac{1}{\sqrt{1+f_x^2(\xi_i,\eta_i)+f_y^2(\xi_i,\eta_i)}}。$$
　　因为$A_i$为在$xy$平面上的投影为$\sigma_i$，所以
$$\Delta A_i=\frac{\Delta \sigma_i}{\cos \gamma_i}=\sqrt{1+f_x^2(\xi_i,\eta_i)+f_y^2(\xi_i,\eta_i)}\Delta \sigma_i。$$
　　其次，由于和数
$$\sum\limits_{i=1}^n \Delta A_i=\sum\limits_{i=1}^n \sqrt{1+f_x^2(\xi_i,\eta_i)+f_y^2(\xi_i,\eta_i)}\Delta \sigma_i$$
　　是连续函数$\sqrt{1+f_x^2(\xi_i,\eta_i)+f_y^2(\xi_i,\eta_i)}\Delta \sigma_i$在有界闭区域$D$上的积分和。于是当$||T|| \to 0$时，就得到
$$\Delta S=\lim\limits_{||T|| \rightarrow 0}\sum\limits_{i=1}^n \sqrt{1+f_x^2(\xi_i,\eta_i)+f_y^2(\xi_i,\eta_i)}\Delta \sigma_i$$
$$=\iint\limits_D \sqrt{1+f_x^2(\xi_i,\eta_i)+f_y^2(\xi_i,\eta_i)}dxdy$$
　　或
$$\Delta S=\lim\limits_{||T|| \rightarrow 0}\sum\limits_{i=1}^n \frac{\Delta \sigma_i}{|\cos \gamma_i|}=\iint\limits_D \frac{dxdy}{|\cos (n,z)|}，$$
　　其中$\cos (n,z)$为曲面的法向量与$z$轴正向夹角的余弦。