n重积分

castelu

　　建立$n$重积分概念，首先必须像定义平面图形面积一样定义$n$维空间区域的体积问题。最简单的$n$维区域——$n$维长方体
$$V=[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \times \cdots \times [a_n,b_n]$$
　　的体积规定为$(b_1-a_1)(b_2-a_2)\cdots(b_n-a_n)$。在仿照可求面积概念那样建立$n$维区域的可求体积概念之后，可以证明$n$维单纯形
$$x_1 \ge 0，x_2 \ge 0，\cdots，x_n \ge 0，x_1+x_2+\cdots+x_n \le h$$
　　和$n$维球体
$$x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2 \le R^2$$
　　的体积是存在的。
　　设$n$元函数$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$定义在$n$维可求体积的区域$V$上。像二重积分概念那样，通过对$V$分割、近似求和、取极限的过程，便得到$n$重积分的概念：
$$I=\overbrace {\int\cdots\int\limits}_V^n f(x_1,x_2,\cdots,x_n)dx_1\cdots dx_n。$$
　　与二重积分相仿，$n$重积分也有如下一些结论：
　　若$f(x_1,\cdots,x_n)$在$n$维有界闭区域$V$上连续，则$n$重积分必存在。
　　计算$n$重积分的办法是把它化为重数较低的积分来计算。如当积分区域是长方体$[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \times \cdots \times [a_n,b_n]$时，则有
$$I=\int_{a_1}^{b_1}dx_1 \int_{a_2}^{b_2}dx_2 \cdots \int_{a_n}^{b_n} f(x_1,\cdots,x_n)dx_n。$$
　　当$V$由不等式组$a_1 \le x_1 \le b_1$，$a_2(x_1) \le x_2 \le b_2(x_1)$，$\cdots$，$a_n(x_1,\cdots,x_{n-1}) \le x_n \le b_n(x_1,\cdots,x_{n-1})$表示时，则有
$$I=\int_{a_1}^{b_1}dx_1 \int_{a_2(x_1)}^{b_2(x_1)}dx_2 \cdots \int_{a_n(x_1,\cdots,x_{n-1})}^{b_n(x_1,\cdots,x_{n-1})} f(x_1,\cdots,x_n)dx_n。$$
　　设变换
$$T:\left\{ \begin{array}{l} x_1=x_1(\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n)\\ x_2=x_2(\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n)\\ \cdots\\ x_n=x_n(\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n) \end{array} \right.$$
　　把$n$维$\xi_1\xi_2\cdots\xi_n$空间区域$V'$一对一地映射成$n$维$x_1x_2\cdots x_n$空间中的区域$V$，且在$V'$上函数行列式
$$J=\frac{\partial (x_1,x_2,\cdots,x_n)}{\partial (\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n)}= \left| {\begin{array}{*{20}{c}} \frac{\partial x_1}{\partial \xi_1}&\frac{\partial x_1}{\partial \xi_2}&\cdots&\frac{\partial x_1}{\partial \xi_n}\\ \frac{\partial x_2}{\partial \xi_1}&\frac{\partial x_2}{\partial \xi_2}&\cdots&\frac{\partial x_2}{\partial \xi_n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ \frac{\partial x_n}{\partial \xi_1}&\frac{\partial x_n}{\partial \xi_2}&\cdots&\frac{\partial x_n}{\partial \xi_n} \end{array}} \right|$$
　　恒不为零，则成立下列$n$重积分的换元公式：
$$I=\overbrace {\int\cdots\int\limits}_V^n f(x_1,x_2,\cdots,x_n) dx_1dx_2\cdots dx_n$$
$$=\overbrace {\int\cdots\int\limits}_V^n f(x_1(\xi_1,\cdots,\xi_n),x_2(\xi_1,\cdots,\xi_n),\cdots,x_n(\xi_1,\cdots,\xi_n)) |J|d\xi_1 d\xi_2 \cdots d\xi_n。$$
　　$n$维球坐标变换为
$$x_1=r\cos \phi_1$$
$$x_2=r\sin \phi_1\cos \phi_2，$$
$$x_3=r\sin \phi_i\sin \phi_2\cos \phi_3，$$
$$\cdots$$
$$x_{n-1}=r\sin \phi_1\sin \phi_2\cdots\sin \phi_{n-1}\cos \phi_{n-1}$$
$$x_n=r\sin \phi_1\sin \phi_2\cdots\sin \phi_{n-2}\sin \phi_{n-1}。$$
　　因此有
$$J=r^{n-1}\sin^{n-2} \phi_1\sin^{n-3} \phi_2\cdots\sin^2 \phi_{n-3}\sin \phi_{n-2}。$$
　　因为积分区域为
$$0 \le r \le R，0 \le \phi_1,\phi_2,\cdots,\phi_{n-2} \le \pi，0 \le \phi_{n-1} \le 2\pi。$$