第二型曲面积分

castelu

定义　设$P$，$Q$，$R$为定义在双侧曲面$S$上的函数，在$S$所指定的一侧作分割$T$，它把$S$分为$n$个小曲面$S_1$，$S_2$，$\cdots$，$S_n$，分割$T$的细度$||T||=\max\limits_{1 \le i \le n}{S_i的直径}$，以$\Delta S_{i_{yz}}$，$\Delta S_{i_{zx}}$，$\Delta S_{i_{xy}}$分别表示$S_i$在三个坐标面上的投影区域的面积，它们的符号由$S_i$的方向来确定。若$S_i$的法线正向与$z$轴正向成锐角时，$S_i$在$xy$平面的投影区域的面积$\Delta S_{i_{xy}}$为正。反之，若$S_i$法线正向与$z$轴正向成钝角时，它在$xy$平面的投影区域的面积$\Delta S_{i_{xy}}$为负。在各个小曲面$S_i$上任取一点$(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)$。若
$$\lim\limits_{||T|| \rightarrow 0}\sum\limits_{i=1}^n P(\xi_i,\eta_i,\zeta_i) \Delta S_{i_{yz}}+\lim\limits_{||T|| \rightarrow 0}\sum\limits_{i=1}^n Q(\xi_i,\eta_i,\zeta_i) \Delta S_{i_{zx}}+\lim\limits_{||T|| \rightarrow 0}\sum\limits_{i=1}^n R(\xi_i,\eta_i,\zeta_i) \Delta S_{i_{xy}}$$
存在，且与曲面$S$的分割$T$和$(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)$在$S_i$上的取法无关，则称此极限为函数$P$，$Q$，$R$在曲面$S$所指定的一侧上的第二型曲面积分，记作
$$\iint\limits_S P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy$$
或
$$\iint\limits_S P(x,y,z)dydz+\iint\limits_S Q(x,y,z)dzdx+\iint\limits_S R(x,y,z)dxdy。$$

　　与第二型曲线积分一样，第二型曲面积分也有如下一些性质：
1、若$\iint\limits_S P_idydz+Q_idzdx+R_idxdy$（$i=1,2,\cdots,k$）存在，则有
$$\iint\limits_S (\sum\limits_{i=1}^k c_i P_i)dydz+(\sum\limits_{i=1}^k c_i Q_i)dzdx+(\sum\limits_{i=1}^k c_i R_i)dxdy$$
$$=\sum\limits_{i=1}^k c_i \iint\limits_S P_idydz+Q_idzdx+R_idxdy，$$
其中$c_i$（$i=1,2,\cdots,k$）是常数。
2、若曲面$S$是由两两无公共内点的曲面块$S_1$，$S_2$，$\cdots$，$S_k$所组成，且
$$\iint\limits_{S_i} Pdydz+Qdzdx+Rdxdy（i=1,2,\cdots,k）$$
存在，则有
$$\iint\limits_S Pdydz+Qdzdx+Rdxdy$$
$$=\sum\limits_{i=1}^k \iint\limits_{S_i} Pdydz+Qdzdx+Rdxdy。$$

　　第二型曲面积分也是把它化为二重积分来计算。

定理　设$R$是定义在光滑曲面
$$S：z=z(x,y)，(x,y) \in D_{xy}$$
上的连续函数，以$S$的上侧为正侧（这时$S$的法线方向与$z$轴正向成锐角），则有
$$\iint\limits_S R(x,y,z)dxdy=\iint\limits_{D_{xy}} R(x,y,z(x,y))dxdy。$$

　　类似地，当$P$在光滑曲面
$$S：x=x(y,z)，(y,z) \in D_{yz}$$
上连续时，有
$$\iint\limits_S P(x,y,z)dydz=\iint\limits_{D_{yz}} P(x(y,z),y,z)dydz，$$
这里$S$是以$S$的法线方向与$x$轴的正向称锐角的那一侧为正侧。
　　当$Q$在光滑曲面
$$S：y=y(z,x)，(z,x) \in D_{zx}$$
上连续时，有
$$\iint\limits_S Q(x,y,z)dzdx=\iint\limits_{D_{zx}} Q(x,y(z,x),z)dzdx，$$
这里$S$是以$S$的法线方向与$y$轴的正向称锐角的那一侧为正侧。
　　如果光滑曲面$S$由参量方程给出：
$$S:\left\{ \begin{array}{l} x=x(u,v)\\ y=y(u,v)\\ z=z(u,v) \end{array} \right.(u,v) \in D。$$
若在$D$上各点它们的函数行列式
$$\frac{\partial (y,z)}{\partial (u,v)}，\frac{\partial (z,x)}{\partial (u,v)}，\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}$$
不同时为零，则分别有
$$\iint\limits_S Pdydz=\pm \iint\limits_D P(x(u,v),y(u,v),z(u,v))\frac{\partial (y,z)}{\partial (u,v)}dudv，$$
$$\iint\limits_S Qdzdx=\pm \iint\limits_D Q(x(u,v),y(u,v),z(u,v))\frac{\partial (z,x)}{\partial (u,v)}dudv，$$
$$\iint\limits_S Rdxdy=\pm \iint\limits_D R(x(u,v),y(u,v),z(u,v))\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}dudv。$$

注　上三式中的正负号分别对应曲面$S$的两个侧，特别当$uv$平面的正方向对应于曲面$S$所选定的正向一侧时，取正号，否则取负号。