散度场

castelu

　　设
$$A(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))$$
　　为空间区域$V$上的向量函数，对$V$上每一点$(x,y,z)$，定义数量函数
$$D(x,y,z)=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}，$$
　　称它为向量函数$A$在$(x,y,z)$处的散度，记作
$$D(x,y,z)={\rm div} A(x,y,z)。$$
　　设$n_0=(\cos \alpha,\cos \beta,\cos \gamma)$为曲面的单位法向量，则$dS=n_0dS$就称为曲面的面积元素向量。于是Gauss公式可写成如下向量形式：
$$\iiint\limits_V {\rm div} AdV=\oint\oint\limits_S A \cdot dS。$$
　　在$V$中任取一点$M_0$，对上式中的三重积分应用中值定理，得
$$\iiint\limits_V {\rm div} AdV={\rm div} A(M^*) \cdot \Delta V=\oint\oint\limits_S A \cdot dS，$$
　　其中$M^*$为$V$中某一点，于是有
$${\rm div} A(M^*)=\frac{\oint\oint\limits_S A \cdot dS}{\Delta V}。$$
　　令$V$收缩到点$M_0$（记成$V \to M_0$），则$M^*$也趋向点$M_0$，因此
$${\rm div} A(M_0)=\lim\limits_{V \rightarrow M_0}\frac{\oint\oint\limits_S A \cdot dS}{\Delta V}。$$
　　这个等式可以看作是散度的另一种定义形式。上式右边的分子、分母都与坐标系的选取无关。由向量场$A$的散度${\rm div} A$所构成的数量场，称为散度场
　　由算符${\rm grad}$，向量场$A$的散度的向量形式是
$${\rm div} A=\nabla \cdot A。$$

　　关于散度，容易由定义直接推得以下一些基本性质；
1、若$u$，$v$是向量函数，则
$$\nabla \cdot (u+v)=\nabla \cdot u+\nabla \cdot v。$$
2、若$\phi$是数量函数，$F$是向量函数，则
$$\nabla \cdot (\phi F)=\phi \nabla \cdot F+F \cdot \nabla \phi。$$
3、若$\phi=\phi(x,y,z)$是一数量函数，则
$$\nabla \cdot \nabla \phi=\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2}。$$
　　算符$\nabla$的内积$\nabla \cdot \nabla$常记作$\Delta$，于是有
$$\nabla \cdot \nabla \phi=\Delta \phi。$$