管量场

castelu

　　若一个向量场$A$的散度恒为零，即${\rm div} A=0$，我们曾称$A$为无源场。从Gauss公式知，此时沿任何封闭曲面的曲面积分都等于零。我们把场$A$称作管量场。这是因为，若在向量场$A$中作一向量管，即由向量线围成的管状的曲面，用断面$S_1$，$S_2$截它，以$S_3$表示所截出的管的表面，我们就得到了由$S_1$，$S_2$，$S_3$所围成的封闭曲面$S$。于是由
$$\iiint\limits_V {\rm div} AdV=\oint\oint\limits_S A \cdot dS$$
　　得出
$$\iint\limits_S A \cdot dS=\iint\limits_{S_1外侧} A \cdot dS+\iint\limits_{S_2外侧} A \cdot dS+\iint\limits_{S_3外侧} A \cdot dS=0。$$
而向量线与曲面$S_3$的法线正交，所以
$$\iint\limits_{S_3外侧} A \cdot dS=0，$$
　　即
$$\iint\limits_{S_1外侧} A \cdot dS+\iint\limits_{S_2外侧} A \cdot dS=0，$$
$$\iint\limits_{S_1内侧} A \cdot dS=\iint\limits_{S_2外侧} A \cdot dS。$$
　　这等式说明了流体通过向量管的任意断面的流量是相同的，所以我们把场$A$称为管量场。