向量函数的极限与连续

castelu

定义1　设$D \subset X \subset R^n$，$a$是$D$的聚点，$f:X \to R^m$。若存在$l \in R^m$，对于$l$的任意小的邻域$U(l;\epsilon) \subset R^m$，总有$a$的空心邻域$U^{\circ} (a;\delta) \subset R^n$，$f(U^{\circ}(a;\delta) \cap D) \subset U(l;\epsilon)$，则称在集合$D$上当$x \to a$时，$f$以$l$为极限，记作
$$\lim\limits_{x \rightarrow a,x \in D} f(x)=l。$$
　　在不致混淆的情况下，或$D=X$时，简称$x \to a$时$f$以$l$为极限，并记作
$$\lim\limits_{x \rightarrow a} f(x)=l。$$

　　易知$\lim\limits_{x \rightarrow a} f(x)=l$与以下任何一种说法是等价的：
（i）$\lim\limits_{||x-a|| \rightarrow 0} ||f(x)-l||=0$；
（ii）设$a=(a_1,\cdots,x_n)$，$l=(l_1,\cdots,l_m)$，则
$$\lim\limits_{x \rightarrow a} f_i(x)=\lim\limits_{(x_1,\cdots,x_n) \rightarrow (a_1,\cdots,a_n)} f_i(x_1,\cdots,x_n)=l_i，i=1,2,\cdots,m。$$

定义2　设$D \subset X \subset R^n$，$a \in D$，$f:X \to R^m$。若对任何$\epsilon>0$，存在$\delta>0$，使得$f(U(a;\delta) \cap D) \subset U(f(a);\epsilon)$，则称$f$在点$a$（关于集合$D$）连续。

　　如果$f$在$D$上每一点都连续，则称$f$为$D$上的连续函数。
　　和多元实值函数一样，如果$a$是$D$的孤立点，则按定义2，$f$在点$a$恒连续；如果$a$是$D$的聚点，则定义2等价于
$$\lim\limits_{x \rightarrow a,x \in D} f(x)=f(a)或\lim\limits_{x \rightarrow a,x \in D} f_i(x)=f_i(a)，i=1,2,\cdots,m。$$
后者表示$f$的所有坐标函数在点$a$（关于$D$）连续。正由于此，以往关于实值连续函数的那些运算性质大部分都可推广到向量函数中来。

定理1　设$f,g:X \to Y$（$x \subset R^n$，$Y \subset R^m$）；$h:Y \to Z \subset R^r$，$\alpha:X \to R$；$\alpha \in X$，$b=f(a) \in Y$。若$f$，$g$，$\alpha$在点$a$连续，$h$在点$b$连续，则向量函数$f \pm g$，$\alpha f$，$h \circ f$都在点$a$连续。

定理2　函数$f:X \to R^m$在点$a \in X \subset R^n$连续的充要条件为：任何点列$\left\{P_k \right\} \subset X$收敛于$a$时，$\left\{f(P_k) \subset R^m \right\}$都收敛于$f(a)$。

　　在有界闭域（或有界闭集）上实值连续函数的那些整体性质同样可推广到向量函数的情形，只是原来与函数值有关的判断必须改为适合于向量函数的形式。

定理3　若$D \subset R^n$是有界闭集，$f: D \to R^m$是$D$上的连续函数，则$f(D) \subset R^m$也是有界闭集。

定理4　若$D \subset R^n$是有界闭集，$f: D \to R^m$是$D$上的连续函数，则$f(D)$的直径可达，即存在$P'$，$P'' \in D$，使得
$$||f(P')-f(P'')||=\max\limits_{x',x'' \in D} ||f(x')-f(x'')||。$$

定理5　若$D \subset R^n$是有界闭集，$f: D \to R^m$是$D$上的连续函数，则$f$在$D$上一致连续。即任给$\epsilon>0$，存在只依赖于$\epsilon$的$\delta>0$，只要$x'$，$x'' \in D$且$||x'-x''|| < \delta$，就有
$$||f(x')-f(x'')|| < \epsilon。$$

定理6　若$D \subset R^n$是道路连通集，$f: D \to R^m$是$D$上的连续函数，则$f(D) \subset R^m$也是道路连通集。