向量函数的微分

castelu

定义　设$D \subset R^n$为开集，$x_0 \in D$，$f: D \to R^m$，如果存在某个线性变换$A$（只依赖于$x_0$），使得$x \in U(x_0) \subset D$时，有
$$f(x)-f(x_0)=A(x-x_0)+o(||x-x_0||)$$
　　或
$$\lim\limits_{x \rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)-A(x-x_0)}{||x-x_0||}=0，$$
　　则称向量函数$f$在点$x_0$可微（或可导）。若与上述线性变换$A$相连系的矩阵为$A(m \times n)$，则称$A(x-x_0)=A(x-x_0)$为$f$在点$x_0$的微分，并称$A$为$f$在点$x_0$的导数，记作$Df(x_0)$或$f'(x_0)$。因而
$$A(x-x_0)=A(x-x_0)=Df(x_0)(x-x_0)=f'(x_0)(x-x_0)$$

　　同样是$f(x)-f(x_0)$的一个线性逼近，只是当$m>1$时它不再是一实数，而是一个$m$维的向量。
　　如果$f$在$D$中任何点处可微，则称$f$为$D$上的可微函数。下面来导出矩阵$A$的元素与$f$的坐标函数的偏导数之间的联系。为此设
$$f=\left( {\begin{array}{*{20}{c}} f_1\\ \vdots\\ f_m \end{array}} \right)，A= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} a_{11}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&&\vdots\\ a_{m1}&\cdots&a_{mn} \end{array}} \right) =\left( {\begin{array}{*{20}{c}} A_1^T\\ \vdots\\ A_m^T \end{array}} \right) ，$$
　　其中$A_i=(a_{i1},\cdots,a_{in})^T$，$i=1,2,\cdots,m$。此时，可微条件
$$\lim\limits_{x \rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)-A(x-x_0)}{||x-x_0||}=0$$
　　等价于
$$f_i(x)-f_i(x_0)=A_i^T(x-x_0)+o(||x-x_0||)，i=1,2,\cdots,m，$$
　　即$f$的所有坐标函数$f_i$，$i=1,2,\cdots,m$在$x_0$可微。由实值函数可微性的结论知道
$$a_{ij}=\frac{\partial f_i}{\partial x_j}|_{x=x_0}，j=1,2,\cdots,n；i=1,2,\cdots,m。$$
　　于是当$f$在$x_0$可微时，$f$在$x_0$的导数矩阵为
$$A= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} \frac{\partial f_1}{\partial x_1}&\cdots&\frac{\partial f_1}{\partial x_n}\\ \vdots&&\vdots\\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1}&\cdots&\frac{\partial f_m}{\partial x_n} \end{array}} \right)（=f'(x_0)=Df(x_0)）。$$
　　由于向量函数的可微性等价于它的所有坐标函数的可微性，因此，实值函数可微的必要条件与充分条件同样适用于向量函数。

定理1　若向量函数$f$在$x_0$可微，则$f$在$x_0$连续。

定理2　若向量函数$f$在$x_0$可微，则$f$的所有$m$个坐标函数$f_i$（$i=1,2,\cdots,m$）在$x_0$关于每个自变量$x_j$（$j=1,2,\cdots,n$）的一阶偏导数$\frac{\partial f_i}{\partial x_j}|_{x=x_0}$都存在。由这些偏导数组成的矩阵便是$f$在$x_0$的导数。

定理3　若向量函数$f$在点$x_0$的某邻领$U(x_0)$内处处存在一阶偏导数$\frac{\partial f_i}{\partial x_j}$（$i=1,2,\cdots,m$；$j=1,2,\cdots,n$），且所有这些偏导数在点$x_0$连续，则$f$在点$x_0$可微。

　　下述定理给出了可微函数与连续函数之间进一步的联系。

定理4　设$D \subset R^n$为开集，$x_0 \in D$，$f: D \to R^m$。则$f$在$x_0$可微的充要条件是：存在一个（$m$行$n$列的）矩阵函数$F: D \to R^{mn}$，它在$x_0$连续（相当于它的$n$个列向量函数都在$x_0$连续），并使得
$$f(x)-f(x_0)=F(x)(x-x_0)，x \in D。$$

　　下列定理中的集合$D \subset R^n$均设为开集。

定理5　设$f,g: D \to R^m$是两个在$x_0 \in D$可微的函数，$c$是任意实数。则$cf$与$f \pm g$在$x_0$也可微，且有

$$(cf)'(x_0)=cf'(x_0)$，$(f \pm g)'(x_0)=f'(x_0) \pm g'(x_0)。$$

定理6　设$f: D \to R^m$在$x_0 \in D$可微；$D' \subset R^m$亦为开集，$f(D) \subset D'$；$g: D' \to R^r$在$y_0=f(x_0)$可微。则复合函数$h=g \circ f: D \to R^r$在$x_0$可微，且

$$h'(x_0)=(g \circ f)'(x_0)=g'(y_0)f'(x_0)。$$

　　上述公式也称为链式法则。
　　在上述复合过程中，若令$u=g(y)$，$y=f(x)$，当用Jacobi矩阵表示复合函数$(g \circ f)(x)$的导数的链式法则时，则为
$$ \left( {\begin{array}{*{20}{c}} \frac{\partial u_1}{\partial x_1}&\cdots&\frac{\partial u_1}{\partial x_n}\\ \vdots&&\vdots\\ \frac{\partial u_r}{\partial x_1}&\cdots&\frac{\partial u_r}{\partial x_n} \end{array}} \right)_{x=x_0} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} \frac{\partial u_1}{\partial y_1}&\cdots&\frac{\partial u_1}{\partial y_m}\\ \vdots&&\vdots\\ \frac{\partial u_r}{\partial y_1}&\cdots&\frac{\partial u_r}{\partial y_m} \end{array}} \right)_{y=y_0} \times \left( {\begin{array}{*{20}{c}} \frac{\partial y_1}{\partial x_1}&\cdots&\frac{\partial y_1}{\partial x_n}\\ \vdots&&\vdots\\ \frac{\partial y_m}{\partial x_1}&\cdots&\frac{\partial y_m}{\partial x_n} \end{array}} \right)_{x=x_0}$$

定理7（微分中值不等式）　设$D \subset R^n$是凸开集，$f: D \to R^m$。若$f$在$D$内可微，则对任何两点$a$，$b \in D$，必存在点$\xi=a+\theta(b-a)$，$0< \theta <1$，使得
$$||f(b)-f(a)|| \le ||f'(\xi)||||b-a||。$$