Hesse矩阵与极值

castelu

　　考虑定义在开集$D \subset R^n$上的向量函数
$$f: D \to R^n。$$
　　如果向量函数$f$是一一映射。即不仅对每一个$x \in D$只有一个$y \in R^n$与之对应，且对每一个$y \in f(D)$也只有惟一确定的$x \in D$，使得$f(x)=y$。于是由后者能确定一个定义在$f(D)$上的函数，记为
$$f^{-1}:f(D) \to D，$$
　　称它为函数$f$的反函数。函数$f$及其反函数$f^{-1}$显然满足
$$(f^{-1}f\circ f)(x)=x，x \in D，$$
$$(f \circ f^{-1})(y)=y，y \in f(D)。$$

定理（反函数定理）　设$D \subset R^n$是开集，函数$f: D \to R^n$满足以下条件：
（i）在$D$上可微，且$f'$连续；
（ii）存在$x_0 \in D$，使$\det f'(x_0) \ne 0$，

　　则存在邻域$U=U(x_0) \subset D$使得
1、$f$在$U$上是一一映射，从而存在反函数$f^{-1}:V \to U$，其中$V=f(U)$是开集；
2、$f^{-1}$在$V$上存在连续导数$(f^{-1})'$，且
$$(f^{-1})'(y)=(f'(x))^{-1}，x=f^{-1}(y)，y \in V。$$

注意　存在的反函数（即使它可导）并不都能由它的自变量用显式来表示。