一般反函数定理

castelu

　　设$x \subset R^n$，$Y \subset R^m$，$\Omega=X \times Y \subset R^{n+m}$，$F:\Omega \to R^m$。考察向量函数方程
$$F(x,y)=0，x \in X，y \in Y。$$
　　如果存在向量函数$f:U \to Y$（$U \subset X$），当用$f(x)$，$x \in U$去替换方程中的$y$时，能使上式变成恒等式
$$F(x,f(x)) \equiv 0，x \in U，$$
　　这时我们称函数$f$是由方程所确定的定义在$U$上的隐函数。
　　方程是一组含有$n+m$个变元的$m$个方程；而$y=f(x)$则是方程的“解”，即由方程所确定的隐函数组。
　　出于叙述定理的需要，我们引入向量函数关于一部分变元的偏导数符号：对上述函数$F$，当固定$y in Y$时，它关于$x$的偏导数记为
$$F_x'(x,y)或D_xF(x,y)（为m \times n矩阵）。$$
　　当固定$x \in X$时，它关于$y$的偏导数记为
$$F_y'(x,y)或D_yF(x,y)（为m \times m矩阵）$$

定理（隐函数定理）　设$x \subset R^n$，$Y \subset R^m$都是开集，$\Omega=X \times Y \subset R^{n+m}$（亦为开集），$F:\Omega \to R^m$。如果$F$满足下列条件：
（i）存在$x_0 \in X$，$y_0 \in Y$，使得$F(x_0,y_0)=0$；
（ii）$F$在$\Omega$上可微，且$F'$连续；
（iii）$\det F_y'(x_0,y_0) \ne 0$，
则存在点$x_0$的$n$维邻域$U=U(x_0) \subset X$和点$y_0$的$m$维邻域$V=V(y_0) \subset Y$，使得在点$(x_0,y_0)$的$n+m$维邻域$W=u \times v \subset \Omega$内，由方程
$$F(x,y)=0，x \in X，y \in Y$$
惟一地确定了隐函数$f:U \to V$，它满足
1、$y_0=f(x_0)$；
2、当$x \in U$时$(x,f(x)) \in W$，具有恒等式
$$F(x,f(x)) \equiv 0，x \in U，$$
　　即
$$F(x,f(x)) \equiv 0；$$
3、$f$在$U$内存在连续偏导数$f'$，且
$$f'(x)=-[F_y'(x,y)]^{-1}F_x'(x,y)，(x,y) \in W。$$