整除

castelu

　　在一元多项式环中，可以作加、减、乘三种运算，但是乘法的逆运算——除法——并不是普遍可以做的。因之整除就成了两个多项式之间的一种特殊的关系。

带余除法　对于$P[x]$中任意两个多项式$f(x)$与$g(x)$，其中$g(x) \ne 0$，一定有$P[x]$中的多项式$q(x)$，$r(x)$存在，使
$$f(x)=q(x)g(x)+r(x)$$
　　成立，其中$\partial (r(x))<\partial (g(x))$或者$r(x)=0$，并且这样的$q(x)$，$r(x)$是唯一决定的。

　　带余除法中所得的$q(x)$通常称为$g(x)$除$f(x)$的商，$r(x)$称为$g(x)$除$f(x)$的余式。

定义　数域$P$上的多项式$g(x)$称为整除$f(x)$，如果有数域$P$上的多项式$h(x)$使等式
$$f(x)=g(x)h(x)$$
　　成立。我们用“$g(x) \mid f(x)$”表示$g(x)$整除$f(x)$，用“$g(x) \not \mid f(x)$”表示$g(x)$不能整除$f(x)$。

　　当$g(x) \mid f(x)$时，$g(x)$就称为$f(x)$的因式，$f(x)$称为$g(x)$的倍式。
　　当$g(x) \ne 0$时，带余除法给出了整除性的一个判别法。

定理　对于数域$P$上的任意两个多项式$f(x)$，$g(x)$，其中$g(x) \ne 0$，$g(x) \mid f(x)$的充分必要条件是$g(x)$除$f(x)$的余式为零。

　　带余除法中，$g(x)$必须不为零。但$g(x) \mid f(x)$中，$g(x)$可以为零。这时$f(x)=g(x) \cdot h(x)=0 \cdot h(x)=0$。
　　当$g(x) \mid f(x)$时，如$g(x) \ne 0$，$g(x)$除$f(x)$所得的商$q(x)$有时也用
$$\frac{f(x)}{g(x)}$$
　　来表示。
　　由定义还可看出，任一个多项式$f(x)$一定整除它自身，即$f(x) \mid f(x)$，因为$f(x)=1 \cdot f(x)$；任一个多项式$f(x)$都整除零多项式$0$，因为$0=0 \cdot f(x)$；零次多项式，也就是非零常数，能整除任一个多项式，因为当$a \ne 0$时，$f(x)=a(a^{-1}f(x))$。

　　下面介绍整除性的几个常用的性质：
1、如果$f(x) \mid g(x)$，$g(x) \mid f(x)$，那么$f(x)=cg(x)$，其中$c$为非零常数。
2、如果$f(x) \mid g(x)$，$g(x) \mid f(x)$，那么$f(x) \mid h(x)$（整除的传递性）。
3、如果$f(x) \mid g_i(x)$，$i=1,2,\cdots,r$，那么
$$f(x) \mid (u_1(x)g_1(x)+u_2(x)g_2(x)+\cdots+u_r(x)g_r(x))，$$
　　其中$u_i(x)$是数域$P$上的任意的多项式。

　　通常$u_1(x)g_1(x)+u_2(x)g_2(x)+\cdots+u_r(x)g_r(x)$称为多项式$g_1(x)$，$g_2(x)$，$\cdots$，$g_i(x)$的一个组合。
　　由以上的性质可以看出，多项式$f(x)$与它的任一个非零常数倍$cf(x)$（$c \ne 0$）有相同的因式，也有相同的倍式。因之，在多项式整除性的讨论中，$f(x)$常常可以用$cf(x)$来代替。
　　最后我们指出，两个多项式之间的整除关系不因为系数域的扩大而改变。也就是说，如果$f(x)$，$g(x)$是$P[x]$中两个多项式，$\overline P$是包含$P$的一个较大的数域。当然，$f(x)$，$g(x)$也可以看成是$\overline {P[x]}$中的多项式。从带余除法可以看出，不论把$f(x)$，$g(x)$看成是$P[x]$中或者是$\overline {P[x]}$中的多项式，用$g(x)$去除$f(x)$所得的商式及余式都是一样的。因此，如果在$P[x]$中$g(x)$不能整除$f(x)$，那么在$\overline {P[x]}$中，$g(x)$也不能整除$f(x)$。