因式分解定理

castelu

定义　数域$P$上次数$\ge 1$的多项式$p(x)$称为域$P$上的不可约多项式，如果它不能表成数域$P$上的连个次数比$p(x)$的次数低的多项式的乘积。

　　按照定义，一次多项式总是不可约多项式。
　　显然，不可约多项式$p(x)$的因式只有非零常数与它自身的非零常数倍$cp(x)$（$c \ne 0$）这两种，此外就没有了。反过来，具有这个性质的次数$\ge 1$的多项式一定是不可约的。由此可知，不可约多项式$p(x)$与任一多项式$f(x)$之间只可能有两种关系，或者$p(x)|f(x)$或者$(p(x),f(x))=1$。事实上，如果$(p(x),f(x))=d(x)$，那么$d(x)$或者是$1$或者是$cp(x)$（$c \ne 0$）。当$d(x)=cp(x)$时，就有$p(x) \mid f(x)$。
　　不可约多项式有下述的重要性质。

定理　如果$p(x)$是不可约多项式，那么对于任意的两个多项式$f(x)$，$g(x)$，由$p(x) \mid f(x)g(x)$一定推出$p(x) \mid f(x)$或者$p(x) \mid g(x)$。

　　利用数学归纳法，这个定理可以推广为：如果不可约多项式$p(x)$整除一些多项式$f_1(x)$，$f_2(x)$，$\cdots$，$f_s(x)$的乘积$f_1(x)f_2(x) \cdots f_s(x)$，那么$p(x)$一定整除这些多项式之中的一个。

因式分解及唯一性定理　数域$P$上每一个次数$\ge 1$的多项式$f(x)$都可以唯一地分解成数域$P$上一些不可约多项式的乘积，所谓唯一性是说，如果有两个分解式
$$f(x)=p_1(x)p_2(x) \cdots p_s(x)=q_1(x)q_2(x) \cdots q_t(x)，$$
　　那么必有$s=t$，并且适当排列因式的次序后有
$p_i(x)=c_iq_i(x)$，$i=1,2,\cdots,s$，
　　其中$c_i$（$i=1,2,\cdots,s$）是一些非零常数。

　　在多项式$f(x)$的分解式中，可以把每一个不可约因式的首项系数提出来，使它们成为首项系数为$1$的多项式，再把相同的不可约因式合并。于是$f(x)$的分解式成为
$$f(x)=cp_1^{r_1}(x)p_2^{r_2}(x) \cdots p_s^{r_s}(x)$$
　　其中$c$是$f(x)$的首项系数，$p_1(x)$，$p_2(x)$，$\cdots$，$p_s(x)$是不同的首项系数为$1$的不可约多项式，而$r_1$，$r_2$，$\cdots$，$r_s$是正整数。这种分解式称为标准分解式。
　　如果已经有了两个多项式的标准分解式，我们就可以直接写出两个多项式的最大公因式。多项式$f(x)$与$g(x)$的最大公因式$d(x)$就是那些同时在$f(x)$与$g(x)$的标准分解式中出现的不可约多项式方幂的乘积，所带的方幂的指数等于它在$f(x)$与$g(x)$中所带的方幂中的较小的一个。
　　由以上讨论可以看出，带余除法是一元多项式因式分解理论的基础。我们知道，整数也有带余除法，即
　　对于任意整数$a$，$b$，$b \ne 0$，都存在唯一的整数$q$，$r$，使
$$a=qb+r，$$
　　其中$0 \le r<|b|$。
　　整数的因式分解理论能够类似地得出。