对称多项式

castelu

　　设
$$f(x)=x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_n$$
　　是$P[x]$中的一个多项式。如果$f(x)$在数域$P$中有$n$个根$\alpha_1$，$\alpha_2$，$\cdots$，$\alpha_n$，那么$f(x)$就可以分解成
$$f(x)=(x-\alpha_1)(x-\alpha_2) \cdots (x-\alpha_n)。$$
　　把上式乘开，比较即得根与系数的关系如下：
$$ \left\{ \begin{array}{l} -a_1=\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n\\ a_2=\alpha_1\alpha_2+\alpha_2\alpha_3+\cdots+\alpha_{n-1}\alpha_n\\ \cdots\\ (-1)^ia_i=\sum\limits \alpha_{k_1}\alpha_{k_2} \cdots \alpha_{k_i}\\ \cdots\\ (-1)^na_n=\alpha_1\alpha_2 \cdots \alpha_n \end{array} \right.$$
　　由此看出，系数是对称地依赖于方程的根的。换句话说，以下$n$个$n$元多项式
$$ \left\{ \begin{array}{l} \sigma_1=x_1+x_2+\cdots+x_n\\ \sigma_2=x_1x_2+x_2x_3+\cdots+x_{n-1}x_n\\ \cdots\\ \sigma_n=x_1x_2 \cdots x_n \end{array} \right.$$
　　是对称地依赖于文字$x_1$，$x_2$，$\cdots$，$x_n$的。
　　为了一般地引入对称多项式的概念，我们需要把“对称”的意义弄清楚。

定义　$n$元多项式$f(x_1,\cdots,x_n)$，如果对于任意的$i$，$j$，$1 \le i \le j \le n$都有
$$f(x_i,\cdots,x_i,\cdots,x_j,\cdots,x_n)=f(x_i,\cdots,x_j,\cdots,x_i,\cdots,x_n)，$$
那么这个多项式称为对称多项式。

　　这就是说，如果任意对换两个文字的地位，$f(x_1,\cdots,x_n)$恒不变，它就是一个对称多项式。
　　当然，$\sigma_1$，$\sigma_2$，$\cdots$，$\sigma_n$都是$n$元对称多项式，它们称为初等对称多项式。
　　由对称多项式的定义可知，对称多项式的和、积以及对称多项式的多项式还是对称多项式。后一论断是说，如果$f_1$，$f_2$，$\cdots$，$f_m$是$n$元对称多项式，而$g(y_1,y_2,\cdots,y_m)$是任一多项式，那么
$$g(f_1,f_2,\cdots,f_m)=h(x_1,x_2,\cdots,x_n)$$
是$n$元对称多项式。
　　特别地，初等对称多项式的多项式还是对称多项式。关于对称多项式的基本事实就是，任一对称多项式都能表成初等对称多项式的多项式，即

定理　对于任意一个$n$元对称多项式$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$，都有一个$n$元多项式$\phi(y_1,y_2,\cdots,y_n)$，使得
$$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\phi(\sigma_1,\sigma_2,\cdots,\sigma_n)。$$

　　事实上，定理中的多项式$\phi(y_1,y_2,\cdots,y_n)$是被对称多项式$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$唯一确定的。这个结果与定理合在一起通常称为对称多项式基本定理。