行列式按一行（列）展开

castelu

定义　在行列式
$$ \left| {\begin{array}{*{20}{c}} a_{11}&\cdots&a_{1j}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&&\vdots&&\vdots\\ a_{i1}&\cdots&a_{ij}&\cdots&a_{i n}\\ \vdots&&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&\cdots&a_{nj}&\cdots&a_{n n} \end{array}} \right| $$
中划去元素$a_{ij}$所在的第$i$行与第$j$列，剩下的$(n-1)^2$个元素按原来的排法构成一个$n-1$级的行列式
$$ \left| {\begin{array}{*{20}{c}} a_{11}&\cdots&a_{1,j-1}&a_{1,j+1}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&&\vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{i-1,1}&\cdots&a_{i-1,j-1}&a_{i-1,j+1}&\cdots&a_{i-1,n}\\ a_{i+1,1}&\cdots&a_{i+1,j-1}&a_{i+1,j+1}&\cdots&a_{i+1,n}\\ \vdots&&\vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&\cdots&a_{n,j-1}&a_{n,j+1}&\cdots&a_{n n} \end{array}} \right| $$
　　称为元素$a_{ij}$的余子式，记为$M_{ij}$。

　　对于$n$级行列式，有
$$ \left| {\begin{array}{*{20}{c}} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{i1}&a_{i2}&\cdots&a_{i n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{n n} \end{array}} \right| =a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\cdots+a_{i n}A_{i n}，i=1,2,\cdots,n。$$
　　$A_{ij}$称为元素$a_{ij}$的代数余子式，$A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$。

定理　设
$$d= \left| {\begin{array}{*{20}{c}} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{i1}&a_{i2}&\cdots&a_{i n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{n n} \end{array}} \right| =a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\cdots+a_{in}A_{in}$，$i=1,2,\cdots,n，$$
　　则下列公式成立：
$$a_{k1}A_{i1}+a_{k2}A_{i2}+\cdots+a_{kn}A_{i n}= \left\{ \begin{array}{l} d,k=i\\ 0,k \ne i \end{array} \right. $$
$$a_{1l}A_{1j}+a_{2l}A_{2j}+\cdots+a_{nl}A_{n j}= \left\{ \begin{array}{l} d,l=j\\ 0,l \ne j \end{array} \right. $$

　　用连加号简写为
$$\sum\limits_{s=1}^n a_{ks}A_{is}= \left\{ \begin{array}{l} d,k=i\\ 0,k \ne i \end{array} \right. ，$$
$$\sum\limits_{s=1}^n a_{sl}A_{sj}= \left\{ \begin{array}{l} d,l=j\\ 0,l \ne j \end{array} \right. $$
　　在$n=3$时，公式有明显的几何意义。如果把行列式的行看作向量在直角坐标系下的坐标，即设
$$\alpha_1=(a_{11},a_{12},a_{13})，\alpha_2=(a_{21},a_{22},a_{23})，\alpha_3=(a_{31},a_{32},a_{33})，$$
　　那么
$$\alpha_2 \times \alpha_3=(A_{11},A_{12},A_{13})。$$
　　于是
$$a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+a_{13}A_{13}=\alpha_1 \cdot (\alpha_2 \times \alpha_3)，$$
$$a_{21}A_{11}+a_{22}A_{12}+a_{23}A_{13}=\alpha_2 \cdot (\alpha_2 \times \alpha_3)=0，$$
$$a_{31}A_{11}+a_{32}A_{12}+a_{33}A_{13}=\alpha_3 \cdot (\alpha_2 \times \alpha_3)=0。$$
　　在计算数字行列式时，直接应用展开式不一定能简化计算，因为把一个$n$级行列式的计算换成$n$个$(n-1)$级行列式的计算并不减少计算量，只是在行列式中某一行或某一列含有较多的零时，应用公式才有意义。但这两个公式在理论上是重要的。