n维向量空间

castelu

定义1　所谓数域$P$上一个$n$维向量就是由数域$P$中$n$个数组成的有序数组
$$(a_1,a_2,\cdots,a_n)，$$
　　$a_i$称为向量的分量。

　　几何上的向量可以认为是它的特殊情形，即$n=2,3$且$P$为实数域的情形。在$n>3$时，$n$维向量就没有直观的几何意义了。我们所以仍然称它为向量，一方面固然是由于它包括通常的向量作为特殊情形，另一方面也由于它与通常的向量一样可以定义运算，并且有许多运算性质是共同的，因而采取这样一个几何的名词有好处。
　　我们用小写希腊字母$\alpha$，$\beta$，$\gamma$，$\cdots$来代表向量。

定义2　如果$n$维向量
$$\alpha=(a_1,a_2,\cdots,a_n)，\beta=(b_1,b_2,\cdots,b_n)$$
　　的对应分量都相等，即
$$a_i=b_i（i=1,2,\cdots,n），$$
　　就称这两个向量是相等的，记作$\alpha=\beta$。
　　$n$维向量之间的基本关系是用向量的加法和数量乘法表达的。

定义3　向量
$$\gamma=(a_1+b_1,a_2+b_2,\cdots,a_n+b_n)$$
　　称为向量
$$\alpha=(a_1,a_2,\cdots,a_n)，\beta=(b_1,b_2,\cdots,b_n)$$
　　的和，记为
$$\gamma=\alpha+\beta。$$

　　由定义立即推出：
　　交换律：$\alpha+\beta=\beta+\alpha$
　　结合律：$\alpha+(\beta+\gamma)=(\alpha+\beta)+\gamma$。

定义4　分量全为零的向量
$$(0,0,\cdots,0)$$
　　称为零向量，记为$0$；向量$(-a_1,-a_2,\cdots,-a_n)$称为向量$\alpha=(a_1,a_2,\cdots,a_n)$的负向量，记为$-\alpha$。

　　显然，对于所有的$\alpha$，都有
$$\alpha+0=\alpha，$$
$$\alpha+(-\alpha)=0。$$
　　以上是向量加法的四条基本运算规律。
　　利用负向量，我们可以定义向量的减法。

定义5　$\alpha-\beta=\alpha+(-\beta)$。

定义6　设$k$为数域$P$中的数，向量
$$(ka_1,ka_2,\cdots,ka_n)$$
　　称为向量$\alpha=(a_1,a_2,\cdots,a_n)$与数$k$的数量乘积，记为$k\alpha$。

　　由定义立即推出：
$$k(\alpha+\beta)=k\alpha+k\beta，$$
$$(k+l)\alpha=k\alpha+l\alpha，$$
$$k(l\alpha)=(kl)\alpha，$$
$$1\alpha=\alpha。$$
　　以上是关于数量乘法的四条基本运算规则。由以上或者由定义不难推出：
$$0\alpha=0，$$
$$(-1)\alpha=-\alpha，$$
$$k0=0。$$
　　如果$k \ne 0，\alpha \ne 0$，那么
$$k\alpha \ne 0。$$

定义7　以数域$P$中的数作为分量的$n$维向量的全体，同时考虑到定义在它们上面的加法和数量乘法，称为数域$P$上的$n$维向量空间。

　　在$n=3$时，$3$维实向量空间可以认为就是几何空间中全体向量所成的空间。
　　以上已把数域$P$上全体$n$维向量的集合组成一个有加法和数量乘法的代数结构，即数域$P$上$n$维向量空间。
　　向量通常是写成一行；
$$\alpha=(a_1,a_2,\cdots,a_n)。$$
　　有时候也可以写成一列：
$$\alpha= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} a_1\\ a_2\\ \vdots\\ a_n \end{array}} \right) 。$$
　　为了区别，前者称为行向量，后者称为列向量。它们的区别只是写法上的不同。