矩阵的秩

castelu

　　如果我们把矩阵的每一行看成一个向量，那么矩阵就可以认为是由这些行向量组成的。同样，如果把每一列看成一个向量，那么矩阵也可以认为是由列向量组成的。

定义1　所谓矩阵的行秩就是指矩阵的行向量组的秩；矩阵的列秩就是矩阵的列向量组的秩。

　　矩阵$A$的行秩等于列秩，这一点不是偶然的，下面来一般地证明行秩与列秩是相等的。
　　作为一个准备，我们先利用行秩的概念把齐次线性方程组有非零解的条件改进如下

引理　如果齐次线性方程组
$$ \left\{ \begin{array}{l} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=0\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=0\\ \cdots\\ a_{s1}x_1+a_{s2}x_2+\cdots+a_{sn}x_n=0 \end{array} \right. $$
　　的系数矩阵
$$A=\left( {\begin{array}{*{20}{c}} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{s1}&a_{s2}&\cdots&a_{sn} \end{array}} \right)$$
的行秩$r<n$，那么它有非零解。

　　由此就可证明

定理1　矩阵的行秩与列秩相等。

　　因为行秩等于列秩，所以下面就统称为矩阵的秩。
　　现在我们再来把矩阵的秩与行列式的概念联系起来。先看$n \times n$矩阵的情形。

定理2　$n \times n$矩阵
$$A=\left( {\begin{array}{*{20}{c}} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn} \end{array}} \right)$$
的行列式为零的充分必要条件是$A$的秩小于$n$。

　　根据这个定理，可以得到有关齐次线性方程组的重要结论。

推论　齐次线性方程组
$$ \left\{ \begin{array}{l} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=0\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=0\\ \cdots\\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots+a_{n n}x_n=0 \end{array} \right. $$
　　有非零解的充分必要条件是它的系数矩阵
$$A=\left( {\begin{array}{*{20}{c}} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn} \end{array}} \right)$$
　　的行列式等于零。

　　为了建立一般矩阵的秩与行列式的关系，我们引入

定义2　在一个$s \times n$矩阵$A$中任意选定$k$行和$k$列，位于这些选定的行和列的交点上的$k^2$个元素按原来的次序所组成的$k$级行列式，称为$A$的一个$k$级子式。

　　在定义中，当然有$k \le \min\limits (s,n)$，这里$\min\limits (s,n)$表示$s$，$n$中较小的一个。
　　由于行和列的选法很多，所以$k$级子式也是很多的。矩阵的秩与行列式的关系表现为：

定理3　一矩阵的秩是$r$的充分必要条件为矩阵中有一个$r$级子式不为零，同时所有$r+1$级子式全为零。

　　这个定理实际上包含两部分，一部分是，矩阵$A$的秩$\ge r$的充分必要条件为$A$有一个$r$级子式不为零；另一部分是，矩阵$A$的秩$\le r$的充分必要条件为$A$的所有$r+1$级子式全为零。有时候，这两个结论可以分开来用。在秩为$r$的矩阵中，不为零的$r$级子式所在的行正是它行向量组的一个极大线性无关组，所在的列正是它列向量组的一个极大线性无关组。
　　最后我们来看一下，怎样计算一个矩阵的秩。作为解线性方程组的一个方法，我们对矩阵作行的初等变换，把矩阵化成阶梯形。事实上，这也是计算矩阵的秩的一个方法。
　　首先，矩阵的初等行变换是把行向量组变成一个与之等价的向量组。我们知道，等价的向量组有相同的秩，因此，初等行变换不改变矩阵的秩。同样地，初等列变换也不改变矩阵的秩。
　　其次，阶梯形矩阵的秩就等于其中非零的行的数目。
　　上面的讨论说明，为了计算一个矩阵的秩，只要用初等行变换把它变成阶梯形，这个阶梯形矩阵中非零的行的个数就是原来矩阵的秩。
　　以上的讨论还说明了，用初等变换化一个线性方程组成阶梯形，最后留下来的方程的个数与变换的过程无关，因为它就等于增广矩阵的秩。