线性方程组解的结构

castelu

　　设
$$ \left\{ \begin{array}{l} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=0\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=0\\ \cdots\\ a_{s1}x_1+a_{s2}x_2+\cdots+a_{sn}x_n=0 \end{array} \right. $$
　　是一个齐次线性方程组，它的解所组成的集合具有下面两个重要性质：
1、两个解的和还是方程组的解。
2、一个解的倍数还是方程组的解。

定义1　齐次线性方程组的一组解$\eta_1$，$\eta_2$，$\cdots$，$\eta_t$称为齐次线性方程组的一个基础解系，如果
1、齐次线性方程组的任一个解都能表成$\eta_1$，$\eta_2$，$\cdots$，$\eta_t$的线性组合；
2、$\eta_1$，$\eta_2$，$\cdots$，$\eta_t$线性无关。

定理1　在齐次线性方程组有非零解的情况下，它有基础解系，并且基础解系所含解的个数等于$n-r$，这里$r$表示系数矩阵的秩（以下将看到，$n-r$也就是自由未知量的个数）。

　　由定义容易看出，任何一个线性无关的与某一个基础解系等价的向量组都是基础解系。
　　下面来看一般线性方程组的解的结构。如果把一般线性方程组
$$ \left\{ \begin{array}{l} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=b_2\\ \cdots\\ a_{s1}x_1+a_{s2}x_2+\cdots+a_{sn}x_n=b_s \end{array} \right. $$
　　的常数项换成$0$，就得到齐次方程组。齐次方程组称为线性方程组的导出组。线性方程组的解与它的导出组的解之间有密切的关系：
1、线性方程组的两个解的差是它的导出组的解。
2、线性方程组的一个解与它的导出组的一个解之和还是这个线性方程组的一个解。

定理2　如果$\gamma_0$是线性方程组的一个特解，那么线性方程组的任一个解$\gamma$都可以表成
$$\gamma=\gamma_0+\eta，$$
　　其中$\eta$是导出组的一个解。因此，对于线性方程组的任一特解$\gamma_0$，当$\eta$取遍它的导出组的全部解时，上式就给出线性方程组的全部解。

　　定理2说明了，为了找出一线性方程组的全部解，我们只要找出它的一个特殊的解以及它的导出组的全部解就行了。导出组是一个齐次方程组，在上面我们已经看到，一个齐次线性方程组的解的全体可以用基础解系来表出。因此，根据定理我们可以用导出组的基础解系来表出一般方程组的一般解：如果$\gamma_0$是线性方程组的一个特解，$\eta_1$，$\eta_2$，$\cdots$，$\eta_{n-r}$是其导出组的一个基础解系，那么线性方程组的任一个解$\gamma$都可以表成
$$\gamma=\gamma_0+k_1\eta_1+k_2\eta_2+\cdots+k_{n-r}\eta_{n-r}。$$

推论　在线性方程组有解的条件下，解是唯一的充分必要条件是它的导出组只有零解。

　　线性方程组的理论与解析几何中关于平面与直线的讨论有密切的关系。我们来看线性方程组
$$ \left\{ \begin{array}{l} a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{12}x_3=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3=b_2 \end{array} \right. $$
中每一个方程表示一个平面，线性方程组有没有解的问题就相当于这两个平面有没有交点的问题。我们知道，两个平面只有在平行而不重合的情形没有交点。线性方程组的系数矩阵与增广矩阵分别是
$$A= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23} \end{array}} \right) 与\overline A= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} a_{11}&a_{12}&a_{13}&b_1\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}&b_2 \end{array}} \right) ，$$
　　它们的秩可能是$1$或者$2$。有三个可能的情形：
1、$A$的秩$=1$，$\overline A$的秩$=1$。这就是$A$的两行成比例，因而这两个平面平行。又因为$\bar A$的两行也成比例，所以这两个平面重合。方程组有解
2、$A$的秩$=1$，$\overline A$的秩$=2$。这就是说，两个平面平行而不重合。方程组无解。
3、$A$的秩$=2$，这时$\overline A$的秩一定也是$2$。在几何上就是这两个平面不平行，因而一定相交。方程组有解。

　　下面再来看看线性方程组的解的几何意义。设矩阵$A$的秩为$2$，这时一般解中有一个自由未知量，譬如说是$x_3$，一般解的形式为
$$ \left\{ \begin{array}{l} x_1=d_1+c_1x_3\\ x_2=d_2+c_2x_3 \end{array} \right. $$
　　从几何上看，两个不平行的平面相交成一条直线。把上式改写一下就是直线的点向式方程
$$\frac{x_1-d_1}{c_1}+\frac{x_2-d_2}{c_2}=x_3。$$
　　如果引入参数$t$，令$x_3=t$，一般解的形式就成为
$$ \left\{ \begin{array}{l} x_1=d_1+c_1t\\ x_2=d_2+c_2t\\ x_3=t \end{array} \right.$$
　　这就是直线的参数方程。
　　线性方程组的导出方程组是
$$ \left\{ \begin{array}{l} a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{12}x_3=0\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3=0 \end{array} \right. $$
　　从几何上看，这是两个分别与线性方程组中平面平行的且过原点的平面，因而它们的交线过原点且与直线
$$ \left\{ \begin{array}{l} x_1=d_1+c_1x_3\\ x_2=d_2+c_2x_3 \end{array} \right. $$
　　平行，也就是有相同的方向，所以这条直线的参数方程就是
$$ \left\{ \begin{array}{l} x_1=c_1t\\ x_2=c_2t\\ x_3=t \end{array} \right. $$
　　两组参数方程正说明了线性方程组与它导出方程组的解之间的关系。