矩阵乘积的行列式与秩

castelu

　　我们来看一下矩阵乘积的行列式与秩和它的因子的行列式与秩的关系。
　　关于乘积的行列式有：

定理1　设$A$，$B$是数域$P$上的两个$n \times n$矩阵，那么
$$|AB|=|A||B|，$$
　　即矩阵乘积的行列式等于它的因子的行列式的乘积。

　　用数学归纳法，定理1不难推广到多个因子的情形，即有

推论1　设$A_1$，$A_2$，$\cdots$，$A_m$是数域$P$上的$n \times n$矩阵，于是$|A_1A_2 \cdots A_m|=|A_1||A_2| \cdots |A_m|$。

定义1　数域$P$上的$n \times n$矩阵$A$称为非退化的，如果$|A| \ne 0$；否则称为退化的。

　　显然，一$n \times n$矩阵是非退化的充分必要条件是它的秩等于$n$。
　　从定理1，立刻推出：

推论2　设$A$，$B$是数域$P$上$n \times n$矩阵，矩阵$AB$为非退化的充分必要条件是$A$，$B$中至少有一个是退化的。

　　关于矩阵乘积的秩，我们有：

定理2　设$A$是数域$P$上$n \times m$矩阵，$B$是数域$P$上$m \times s$矩阵，于是
$$秩(AB) \le \min\limits [秩(A),秩(B)]，$$
　　即乘积的秩不超过各因子的秩。

　　用数学归纳法，定理2不难推广到多个因子的情形，即有

推论3　如果$A=A_1A_2 \cdots A_t$，那么
$$秩(A) \le \min\limits_{1 \le j \le t}秩(A_j)。$$