矩阵的分块

castelu

　　有时候，我们把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的，就如矩阵是由数组成的一样。特别在运算中，把这些小矩阵当作数一样来处理。这就是所谓矩阵的分块。
　　一般地说，设$A=(a_{ik})_{sn}$，$B=(b_{kj})_{nm}$，把$A$，$B$分成一些小矩阵：
$$A= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} A_{11}&A_{12}&\cdots&A_{1l}\\ A_{21}&A_{22}&\cdots&A_{2l}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ A_{t1}&A_{t2}&\cdots&A_{tl} \end{array}} \right) ，$$
$$B= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} B_{11}&B_{12}&\cdots&B_{1r}\\ B_{21}&B_{22}&\cdots&B_{2r}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ B_{l1}&B_{l2}&\cdots&B_{lr} \end{array}} \right) ，$$
　　其中每个$A_{ij}$是$s_i \times n_j$小矩阵，每个$B_{ij}$是$n_i \times m_j$小矩阵。于是有
$$C=AB= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} C_{11}&C_{12}&\cdots&C_{1r}\\ C_{21}&C_{22}&\cdots&C_{2r}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ C_{t1}&C_{t2}&\cdots&C_{tr} \end{array}} \right) ，$$
　　其中
$$C_{pq}=A_{p1}B_{1q}+A_{p2}B_{2q}+\cdots+A_{pl}B_{lq}$$
$$=\sum\limits_{k=1}^l A_{pk}B_{kq}（p=1,2,\cdots,t；q=1,2,\cdots,r）。$$
　　应该注意，在分块中矩阵$A$的列的分法必须与矩阵$B$的行的分法一致。
形式为
$$ \left( {\begin{array}{*{20}{c}} a_1&0&\cdots&0\\ 0&a_2&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ 0&0&\cdots&a_l \end{array}} \right) $$
　　的矩阵，其中$a_i$是数（$i=1,2,\cdots,l$），通常称为对角矩阵，而形式为
$$ \left( {\begin{array}{*{20}{c}} A_1&&&O\\ &A_2&&\\ &&\ddots&\\ 0&&&A_l \end{array}} \right) $$
　　的矩阵，其中$A_i$是$n_i \times n_i$矩阵（$i=1,2,\cdots,l$），通常称为准对角矩阵。当然，准对角矩阵包括对角矩阵作为特殊情形。
　　对于两个有相同分块的准对角矩阵
$$A= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} A_1&&&O\\ &A_2&&\\ &&\ddots&\\ O&&&A_l \end{array}} \right) ，B= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} B_1&&&O\\ &B_2&&\\ &&\ddots&\\ O&&&B_l \end{array}} \right) ，$$
　　如果它们相应的分块是同级的，那么显然有
$$AB= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} A_1B_1&&&O\\ &A_2B_2&&\\ &&\ddots&\\ O&&&A_lB_l \end{array}} \right) ，$$
$$A+B= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} A_1+B_1&&&O\\ &A_2+B_2&&\\ &&\ddots&\\ O&&&A_l+B_l \end{array}} \right) $$
　　它们还是准对角矩阵。
　　其次，如果$A_1$，$A_2$，$\cdots$，$A_l$都是可逆矩阵，那么
$$ \left( {\begin{array}{*{20}{c}} A_1&&&O\\ &A_2&&\\ &&\ddots&\\ O&&&A_l \end{array}} \right) ^{-1}= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} A_1^{-1}&&&O\\ &A_2^{-1}&&\\ &&\ddots&\\ O&&&A_l^{-1} \end{array}} \right) 。$$