二次型

castelu

　　设$P$是一数域，一个系数在数域$P$中的$x_1$，$x_2$，$\cdots$，$x_n$的二次齐次多项式
$$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$$
$$=a_{11}x_1^2+2a_{12}x_1x_2+\cdots+2a_{1n}x_1x_n+a_{22}x_2^2+\cdots+2a_{2n}x_2x_n+\cdots+a_{n n}x_n^2$$
称为数域$P$上的一个$n$元二次型，或者，在不致引起混淆时简称二次型。

定义1　设$x_1,x_2,\cdots,x_n$；$y_1,y_2,\cdots,y_n$是两组文字，系数在数域$P$中的一组关系式
$$ \left\{ \begin{array}{l} x_1=c_{11}y_1+c_{12}y_2+\cdots+c_{1n}y_n\\ x_2=c_{21}y_1+c_{22}y_2+\cdots+c_{2n}y_n\\ \cdots\\ x_n=c_{n1}y_1+c_{n2}y_2+\cdots+c_{n n}y_n \end{array} \right. $$
　　称为由$x_1,x_2,\cdots,x_n$到$y_1,y_2,\cdots,y_n$的一个线性替换，或简称线性替换。如果系数行列式
$$|c_{ij}| \ne 0，$$
　　那么线性替换就称为非退化的。

　　不难看出，如果把线性替换代入二次型，那么得到的$y_1,y_2,\cdots,y_n$的多项式仍然是二次齐次的。换句话说，线性替换把二次型变成二次型。
　　在讨论二次型时，矩阵是一个有力的工具，因此我们先把二次型与线性替换用矩阵来表示。令
$$a_{ij}=a_{ji}，i<j。$$
　　由于
$$x_ix_j=x_jx_i，$$
　　所以二次型可以写成
$$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=a_{11}x_1^2+a_{12}x_1x_2+\cdots+a_{1n}x_1x_n+a_{21}x_2x_1+a_{22}x_2^2$$
$$+\cdots+a_{2n}x_2x_n+a_{n1}x_nx_1+a_{n2}x_nx_2+\cdots+a_{n n}x_n^2=\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^n a_{ij}x_ix_j。$$
　　把上式的系数排成一个$n \times n$矩阵。因为$a_{ij}=a_{ji}$，$i$，$j=1,\cdots,n$，所以
$$A=A'。$$
　　我们把这样的矩阵称为对称矩阵，因此，二次型的矩阵都是对称的，令
$$X= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n \end{array}} \right) 。$$
　　于是，二次型可以用矩阵的乘积表示出来：
$$X'AX= (x_1,x_2,\cdots,x_n) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{n n} \end{array}} \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n \end{array}} \right) $$
$$= (x_1,x_2,\cdots,x_n) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n\\ \cdots\\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots+a_{n n}x_n \end{array}} \right) $$
$$=\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^n a_{ij}x_ix_j。$$
　　故
$$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=X'AX。$$
　　应该看到，二次型的矩阵$A$的元素，当$i \ne j$时$a_{ij}=a_{ji}$正是它的$x_ix_j$项的系数的一半，而$a_{ii}$是$x_i^2$项的系数，因此二次型和它的矩阵是相互唯一决定的。由此还能得到，若二次型
$$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=X'AX=X'BX$$
　　且$A'=A$，$B'=B$，则$A=B$。
　　令
$$C= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} c_{11}&c_{12}&\cdots&c_{1n}\\ c_{21}&c_{22}&\cdots&c_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ c_{n1}&c_{n2}&\cdots&c_{n n} \end{array}} \right) ，Y= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} y_1\\ y_2\\ \vdots\\ y_n \end{array}} \right) 。$$
　　于是线性替换可以写成
$$\left( {\begin{array}{*{20}{c}} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} c_{11}&c_{12}&\cdots&c_{1n}\\ c_{21}&c_{22}&\cdots&c_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ c_{n1}&c_{n2}&\cdots&c_{n n} \end{array}} \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} y_1\\ y_2\\ \vdots\\ y_n \end{array}} \right) ，$$
　　或者
$$X=CY。$$
　　我们知道，经过一个非退化的线性替换，二次型还是变成二次型。现在就来看一下，替换后的二次型与原来的二次型之间有什么关系，也就是说，找出替换后的二次型的矩阵与原二次型的矩阵之间的关系。
　　设
$$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=X'AX，A=A'$$
　　是一个二次型，作非退化线性替换
$$X=CY，$$
　　我们得到一个$y_1,y_2,\cdots,y_n$的二次型
$$Y'BY。$$
　　现在来看矩阵$B$与$A$的关系。
　　把线性替换代入二次型，有
$$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=X'AX=(CY)'A(CY)=Y'C'ACY=Y'(C'AC)Y=Y'BY。$$
　　容易看出，矩阵$C'AC$也是对称的。事实上，
$$(C'AC)'=C'A'C''=C'AC。$$
　　由此，即得
$$B=C'AC。$$
　　这就是前后两个二次型的矩阵的关系。与之相应，我们引入

定义2　数域$P$上$n \times n$矩阵$A$，$B$称为合同的，如果有数域$P$上可逆的$n \times n$矩阵$C$，使
$$B=C'AC。$$

　　合同是矩阵之间的一个关系。不难看出，合同关系具有
1、反身性：$A=E'AE$；
2、对称性：由$B=C'AC$即得$A=(C^{-1})'BC^{-1}$；
3、传递性：由$A_1=C_1'AC_1$和$A_2=C_2'A_1C_2$即得$A_2=(C_1C_2)'A(C_1C_2)$。

　　因之，经过非退化的线性替换，新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是合同的。这样，我们就把二次型的变换通过矩阵表示出来。
　　最后指出，在变换二次型时，我们总是要求所作的线性替换是非退化的。从几何上看，这一点是自然的，因为坐标变换一定是非退化的。一般地，当线性替换
$$X=CY$$
　　是非退化时，由上面的关系即得
$$Y=C^{-1}X。$$
　　这也是一个线性替换，它把所得的二次型还原。这样就使我们从所得二次型的性质可以推知原来二次性的一些性质。