线性空间的同构

castelu

定义　数域$P$上两个线性空间$V$与$V'$称为同构的，如果由$V$到$V'$有一个双射$\sigma$，具有以下性质：
1）$\sigma(\alpha+\beta)=\sigma(\alpha)+\sigma(\beta)$；
2）$\sigma(k\alpha)=k\sigma(\alpha)$，
　　其中$\alpha$，$\beta$是$V$中任意向量，$k$是$P$中任意数。这样的映射$\sigma$称为同构映射。

　　由定义可以看出，同构映射具有下列基本性质：
1、$\sigma(0)=0$，$\sigma(-\alpha)=-\sigma(\alpha)$。
2、$\sigma(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_r\alpha_r)=k_1\sigma(\alpha_1)+k_2\sigma(\alpha_2)+\cdots+k_r\sigma(\alpha_r)$。
3、$V$中向量组$\alpha_1$，$\alpha_2$，$\cdots$，$\alpha_r$线性相关的充分必要条件是，它们的象$\sigma(\alpha_1)$，$\sigma(\alpha_2)$，$\cdots$，$\sigma(\alpha_r)$线性相关。
　　因为维数就是空间中线性无关向量的最大个数，所以由同构映射的性质可以推知，同构的线性空间有相同的维数。
4、如果$V_1$是$V$的一个线性子空间，那么，$V_1$在$\sigma$下的象集合
$$\sigma(V_1)=\left\{\sigma(\alpha)|\alpha \in V_1 \right\}$$
是$\sigma(V)$的子空间，并且$V_1$与$\sigma(V_1)$维数相同。
5、同构映射的逆映射以及两个同构映射的乘积还是同构映射。

　　因为任一线性空间$V$到自身的恒等映射显然是一同构映射，所以性质5表明，同构作为线性空间之间的一种关系，具有反身性，对称性与传递性。
　　既然数域$P$上任意一个$n$维线性空间都与$P^n$同构，由同构的对称性与传递性即得，数域$P$上任意两个$n$维线性空间都同构。
　　综上所述，我们有：

定理　数域$P$上两个有限维线性空间同构的充分必要条件是它们有相同的维数。

　　在线性空间的抽象讨论中，我们并没有考虑线性空间的元素是什么，也没有考虑其中运算是怎样定义的，而只涉及线性空间在所定义的运算下的代数性质。从这个观点看来，同构的线性空间是可以不加区别的。因之，定理说明了，维数是有限维线性空间的唯一的本质特征。
　　特别地，每一个数域$P$上$n$维线性空间都与$n$元数组所组成的空间$P^n$同构，而同构的空间有相同的性质。由此可知，关于$n$元数组的一些结论，在一般的线性空间中也是成立的。