线性变换的矩阵

castelu

　　设$V$是数域$P$上$n$维线性空间，$\epsilon_1$，$\epsilon_2$，$\cdots$，$\epsilon_n$是$V$的一组基，现在我们来建立线性变换与矩阵的关系。
　　空间$V$中任一向量$\xi$可以被基$\epsilon_1$，$\epsilon_2$，$\cdots$，$\epsilon_n$线性表出，即有关系式
$$\xi=x_1\epsilon_1+x_2\epsilon_2+\cdots+x_n\epsilon_n，$$
　　其中系数是唯一确定的，它们就是$\xi$在这组基下的坐标。由于线性变换保持线性关系不变，因而在$\xi$的像$\mathcal A\xi$与基的像$\mathcal A\epsilon_1$，$\mathcal A\epsilon_2$，$\cdots$，$\mathcal A\epsilon_n$之间也必然有相同的关系：
$$\mathcal A\xi=\mathcal A(x_1\epsilon_1+x_2\epsilon_2+\cdots+x_n\epsilon_n)$$
$$=x_1\mathcal A(\epsilon_1)+x_2\mathcal A(\epsilon_2)+\cdots+x_n\mathcal A(\epsilon_n)。$$

　　上式表明，如果我们知道了基$\epsilon_1$，$\epsilon_2$，$\cdots$，$\epsilon_n$的像，那么线性空间中任意一个向量$\xi$的像也就知道了，或者说
1、设$\epsilon_1$，$\epsilon_2$，$\cdots$，$\epsilon_n$是线性空间$V$的一组基。如果线性变换$\mathcal A$与$\mathcal B$在这组基上的作用相同，即
$$\mathcal A\epsilon_i=\mathcal B\epsilon_i，i=1,2,\cdots,n，$$
　　那么$\mathcal A=\mathcal B$。
　　结论1的意义就是，一个线性变换完全被它在一组基上的作用所决定。下面我们进一步指出，基向量的像却完全可以是任意的，也就是说，
2、设$\epsilon_1$，$\epsilon_2$，$\cdots$，$\epsilon_n$是线性空间$V$的一组基。对于任意一组向量$\alpha_1$，$\alpha_2$，$\cdots$，$\alpha_n$一定有一个线性变换$\mathcal A$使
$$\mathcal A\epsilon_i=\alpha_i，i=1,2,\cdots,n。$$
　　结合以上两点，得

定理1　设$\epsilon_1$，$\epsilon_2$，$\cdots$，$\epsilon_n$是线性空间$V$的一组基，$\alpha_1$，$\alpha_2$，$\cdots$，$\alpha_n$是$V$中任意$n$个向量。存在唯一的线性变换$\mathcal A$使
$$\mathcal A\epsilon_i=\alpha_i，i=1,2,\cdots,n。$$

　　有了以上的讨论，我们就可以来建立线性变换与矩阵的联系。

定义1　设$\epsilon_1$，$\epsilon_2$，$\cdots$，$\epsilon_n$是数域$P$上$n$维线性空间$V$的一组基，$\mathcal A$是$V$中的一个线性变换。基向量的像可以被基线性表出：
$$ \left\{ \begin{array}{l} \mathcal A\epsilon_1=a_{11}\epsilon_1+a_{21}\epsilon_2+\cdots+a_{n1}\epsilon_n\\ \mathcal A\epsilon_2=a_{12}\epsilon_1+a_{22}\epsilon_2+\cdots+a_{n2}\epsilon_n\\ \cdots\\ \mathcal A\epsilon_n=a_{1n}\epsilon_1+a_{2n}\epsilon_2+\cdots+a_{n n}\epsilon_n \end{array} \right. ，$$
　　用矩阵来表示就是
$$\mathcal A(\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_n)=(\mathcal A\epsilon_1,\mathcal A\epsilon_2,\cdots,\mathcal A\epsilon_n)=(\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_n)A，$$
　　其中
$$A= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{n n} \end{array}} \right) 。$$
　　矩阵$A$称为$\mathcal A$在基$\epsilon_1$，$\epsilon_2$，$\cdots$，$\epsilon_n$下的矩阵。

　　设$\epsilon_1$，$\epsilon_2$，$\cdots$，$\epsilon_m$是$n$（$n>m$）维线性空间$V$的子空间$W$的一组基，把它扩充为$V$的一组基$\epsilon_1$，$\epsilon_2$，$\cdots$，$\epsilon_n$。指定线性变换$A$如下：
$$ \left\{ \begin{array}{l} \mathcal A\epsilon_i=\epsilon_i,当i=1,2,\cdots,m,\\ \mathcal A\epsilon_i=0,当i=m+1,\cdots,n. \end{array} \right. ，$$
　　如此确定的线性变换$\mathcal A$称为对子空间$W$的一个投影。不难证明
$$\mathcal A^2=\mathcal A$$
　　投影$\mathcal A$在基$\epsilon_1$，$\epsilon_2$，$\cdots$，$\epsilon_n$下的矩阵是
$$ \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&&&&&&\\ &1&&&&&\\ &&\ddots&&&&\\ &&&1&&&\\ &&&&0&&\\ &&&&&\ddots&\\ &&&&&&0 \end{array}} \right) 。$$
　　这样，在取定一组基之后，我们就建立了由数域$P$上的$n$维线性空间$V$的线性变换到数域$P$上的$n \times n$矩阵的一个映射。前面的结论1说明这个映射是单射，结论2说明这个映射是满射。换句话说，我们在这二者之间建立了一个双射。这个对应的重要性表现在它保持运算，即有

定理2　设$\epsilon_1$，$\epsilon_2$，$\cdots$，$\epsilon_n$是数域$P$上$n$维线性空间$V$的一组基，在这组基下，每个线性变换按公式
$$\mathcal A(\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_n)=(\mathcal A\epsilon_1,\mathcal A\epsilon_2,\cdots,\mathcal A\epsilon_n)=(\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_n)A$$
　　对应一个$n \times n$矩阵。这个对应具有以下的性质：
1）线性变换的和对应于矩阵的和；
2）线性变换的乘积对应于矩阵的乘积；
3）线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积；
4）可逆的线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应于逆矩阵。

　　定理2说明数域$P$上$n$维线性空间$V$的全部线性变换组成的集合$L(V)$对于线性变换的加法与数量乘法构成$P$上一个线性空间，与数域$P$上$n$级方阵构成的线性空间$P^{n \times n}$同构。
　　利用线性变换的矩阵可以直接计算一个向量的像。

定理3　设线性变换$\mathcal A$在基$\epsilon_1$，$\epsilon_2$，$\cdots$，$\epsilon_n$下的矩阵是$A$，向量$\xi$在基$\epsilon_1$，$\epsilon_2$，$\cdots$，$\epsilon_n$下的坐标是$(x_1,x_2,\cdots,x_n)$，则$\mathcal A\xi$在基$\epsilon_1$，$\epsilon_2$，$\cdots$，$\epsilon_n$下的坐标$(y_1,y_2,\cdots,y_n)$可以按公式
$$ \left( {\begin{array}{*{20}{c}} y_1\\ y_2\\ \vdots\\ y_n \end{array}} \right) =A \left( {\begin{array}{*{20}{c}} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n \end{array}} \right) $$
　　计算。

　　线性变换的矩阵是与空间中一组基联系在一起的。一般说来，随着基的改变，同一个线性变换就有不同的矩阵。为了利用矩阵来研究线性变换，我们有必要弄清楚线性变换的矩阵是如何随着基的改变而改变的。

定理4　设线性空间$V$中线性变换$\mathcal A$在两组基
$$\epsilon_1，\epsilon_2，\cdots，\epsilon_n，$$
$$\eta_1，\eta_2，\cdots，\eta_n$$
　　下的矩阵分别为$A$和$B$，从基$\epsilon_1$，$\epsilon_2$，$\cdots$，$\epsilon_n$到基$\eta_1$，$\eta_2$，$\cdots$，$\eta_n$的过渡矩阵是$X$，于是$B=X^{-1}AX$。

　　定理4告诉我们，同一个线性变换$A$在不同基下的矩阵之间的关系。这个基本关系在以后的讨论中是重要的。现在，我们对于矩阵引进相应的定义。

定义2　设$A$，$B$为数域$P$上两个$n$级矩阵，如果可以找到数域$P$上的$n$级可逆矩阵$X$，使得$B=X^{-1}AX$，就说$A$相似于$B$，记作$A \sim B$。

　　相似是矩阵之间的一种关系，这种关系具有下面三个性质：
1、反身性：$A \sim A$。
2、对称性：如果$A \sim B$，那么$B \sim A$。
3、传递性：如果$A \sim B$，$B \sim C$，那么$A \sim C$。

　　有了矩阵相似的概念之后，定理4可以补充成：

定理5　线性变换在不同基下所对应的矩阵是相似的；反过来，如果两个矩阵相似，那么它们可以看作同一个线性变换在两组基下所对应的矩阵。

　　矩阵的相似对于运算有下面的性质。
　　如果$B_1=X^{-1}A_1X$，$B_2=X^{-1}A_2X$，那么
$$B_1+B_2=X^{-1}(A_1+A_2)X，$$
$$B_1B_2=X^{-1}(A_1A_2)X。$$
　　由此可知，如果$B=X^{-1}AX$，且$f(x)$是数域$P$上一多项式，那么
$$f(B)=X^{-1}f(A)X。$$
　　利用矩阵相似的这个性质可以简化矩阵的计算。