对角矩阵

castelu

　　对角矩阵可以认为是矩阵中最简单的一种。现在我们来考察，究竟哪一些线性变换的矩阵在一组适当的基下可以是对角矩阵。

定理1　设$\mathcal A$是$n$维线性空间$V$的一个线性变换，$\mathcal A$的矩阵可以在某一组基下为对角矩阵的充分必要条件是，$\mathcal A$有$n$个线性无关的特征向量。

定理2　属于不同特征值的特征向量是线性无关的。

　　从上面这两个定理就得到

推论1　如果在$n$维线性空间$V$中，线性变换$\mathcal A$的特征多项式在数域$P$中有$n$个不同的根，即$\mathcal A$有$n$个不同的特征值，那么$\mathcal A$在某组基下的矩阵是对角形的。

　　因为在复数域中任一个$n$次多项式都有$n$个根，所以上面的论断可以改写为

推论2　在复数域上的线性空间中，如果线性变换$\mathcal A$的特征多项式没有重根，那么$\mathcal A$在某组基下的矩阵是对角形的。

　　在一个线性变换没有$n$个不同的特征值的情形，要判别这个线性变换的矩阵能不能成为对角形，问题就要复杂些。为了利用定理1，我们把定理2推广为

定理3　如果$\lambda_1$，$\cdots$，$\lambda_k$是线性变换$\mathcal A$的不同的特征值，而$\alpha_{i1}$，$\cdots$，$\alpha_{ir_i}$是属于特征值$\lambda_i$的线性无关的特征向量，$i=1$，$\cdots$，$k$，那么向量组$\alpha_{11}$，$\cdots$，$\alpha_{1r_1}$，$\cdots$，$\alpha_{k1}$，$\cdots$，$\alpha_{kr_k}$也线性无关。

　　根据这个定理，对于一个线性变换，求出属于每个特征值的线性无关的特征向量，把它们合在一起还是线性无关的。如果它们的个数等于空间的维数，那么这个线性变换在一组合适的基下的矩阵是对角矩阵；如果它们的个数少于空间的维数，那么这个线性变换在任何一组基下的矩阵都不能是对角形的。换句话说，设$\mathcal A$全部不同的特征值是$\lambda_1$，$\cdots$，$\lambda_r$，于是$\mathcal A$在某一组基下的矩阵成对角形的充分必要条件是$\mathcal A$的特征子空间$V_{\lambda_1}$，$\cdots$，$V_{\lambda_r}$的维数之和等于空间的维数。

　　应该看到，当线性变换$\mathcal A$在一组基下的矩阵$A$是对角形时：
$$A= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} \lambda_1&&&\\ &\lambda_2&&\\ &&\ddots&\\ &&&\lambda_n \end{array}} \right) 。$$
$A$的特征多项式就是
$$|\lambda E-A|=(\lambda-\lambda_1)(\lambda-\lambda_2) \cdots (\lambda-\lambda_n)。$$
　　因此，如果线性变换$\mathcal A$在一组基下的矩阵是对角形，那么主对角线上的元素除排列次序外是确定的，它们正是$A$的特征多项式全部的根（重根按重数计算）。
　　根据线性变换的矩阵随着基的改变而改变的定理，一个线性变换的矩阵能不能在某一组基下是对角形的问题就相当于一个矩阵是不是相似于一个对角矩阵的问题。