线性变换的值域与核

castelu

定义　设$\mathcal A$是线性空间$V$的一个线性变换，$\mathcal A$的全体像组成的集合称为$\mathcal A$的值域，用$\mathcal AV$表示。所有被$\mathcal A$变成零向量的向量组成的集合称为$\mathcal A$的核，用$\mathcal A^{-1}(0)$表示。

　　若用集合的记号则$\mathcal AV=\left\{\mathcal A \xi|\xi \in V \right\}$，$\mathcal A^{-1}(0)=\left\{\xi|\mathcal A \xi=0,\xi \in V \right\}$。
　　线性变换的值域与核都是$V$的子空间。
　　$\mathcal AV$的维数称为$\mathcal A$的秩，$\mathcal A^{-1}(0)$的维数称为$\mathcal A$的零度。

定理1　设$\mathcal A$是$n$维线性空间$V$的线性变换，$\epsilon_1$，$\epsilon_2$，$\cdots$，$\epsilon_n$是$V$的一组基，在这组基下$\mathcal A$的矩阵是$A$，则
1）$\mathcal A$的值域$\mathcal AV$是由基像组生成的子空间，即
$$\mathcal AV=L(\mathcal A\epsilon_1,\mathcal A\epsilon_2,\cdots,\mathcal A\epsilon_n)。$$
2）$\mathcal A$的秩$=A$的秩。
　　定理1说明线性变换与矩阵之间的对应关系保持秩不变。

定理2　设$\mathcal A$是$n$维线性空间$V$的线性变换。则$\mathcal AV$的一组基的原像及$\mathcal A^{-1}(0)$的一组基合起来就是$V$的一组基。由此还有
$$\mathcal A的秩+\mathcal A的零度=n。$$

推论　对于有限维线性空间的线性变换，它是单射的充分必要条件为它是满射。