最小多项式

castelu

　　根据Hamilton-Caylay定理，任给数域$P$上一个$n$级矩阵$A$，总可找到数域$P$上一个多项式$f(x)$，使$f(A)=0$。如果多项式$f(x)$使$f(A)=0$，我们就称$f(x)$以$A$为根。当然，以$A$为根的多项式是很多的，其中次数最低的首项系数为$1$的以$A$为根的多项式称为$A$的最小多项式。现在讨论如何应用最小多项式来判断一个矩阵能否对角化的问题。
　　首先介绍最小多项式的一些基本性质。

引理1　矩阵$A$的最小多项式是唯一的。

引理2　设$g(x)$是矩阵$A$的最小多项式，那么$f(x)$以$A$为根的充分必要条件是$g(x)$整除$f(x)$。

　　由此可知，矩阵$A$的最小多项式是$A$的特征多项式的一个因式。
　　如果矩阵$A$与$B$相似：$B=T^{-1}AT$，那么对任一多项式$f(x)$，$f(B)=T^{-1}f(A)T$。因此$f(B)=O$当且仅当$f(A)=O$。这说明相似矩阵有相同的最小多项式。但是需要注意，这个条件并不是充分的，即最小多项式相同的矩阵不一定是相似的。
　　为了讨论矩阵对角化的问题，还需要用到下面的引理。

引理3　设$A$是一个准对角矩阵
$$A= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} A_1&\\ &A_2 \end{array}} \right) ，$$
　　并设$A_1$的最小多项式为$g_1(x)$，$A_2$的最小多项式为$g_2(x)$，那么$A$的最小多项式为$g_1(x)$，$g_2(x)$的最小公倍式$[g_1(x),g_2(x)]$。

　　这个结论可以推广到$A$为若干个矩阵组成的准对角矩阵的情形。即：如果
$$A= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} A_1&&&\\ &A_2&&\\ &&\ddots&\\ &&&A_s \end{array}} \right) ，$$
　　$A_i$的最小多项式为$g_i(x)$，$i=1,2,\cdots,s$，那么$A$的最小多项式为$[g_1(x),g_2(x),\cdots,g_s(x)]$。

引理4　$k$级若尔当块
$$J= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} a&&&\\ 1&\ddots&&\\ &\ddots&&\\ &&1&a \end{array}} \right) $$
　　的最小多项式为$(x-a)^k$。

定理　数域$P$上$n$级矩阵$A$与对角矩阵相似的充分必要条件为$A$的最小多项式是$P$上互素的一次因式的乘积。

推论　复数矩阵$A$与对角矩阵相似的充分必要条件是$A$的最小多项式没有重根。