不变因子

castelu

定义1　设$\lambda-$矩阵$A(\lambda)$的秩为$r$，对于正整数$k$，$1 \le k \le r$，$A(\lambda)$中必有非零的$k$级子式。$A(\lambda)$中全部$k$级子式的首项系数为$1$的最大公因式$D_k(\lambda)$称为$A(\lambda)$的$k$级行列式因子。

　　由定义可知，对于秩为$r$的$\lambda-$矩阵，行列式因子一共有$r$个。行列式因子的意义就在于，它在初等变换下是不变的。

定理1　等价的$\lambda-$矩阵具有相同的秩与相同的各级行列式因子。

　　现在来计算标准形矩阵的行列式因子。设标准形为
$$ \left( {\begin{array}{*{20}{c}} d_1(\lambda)&&&&&&\\ &d_2(\lambda)&&&&&\\ &&\ddots&&&&\\ &&&d_r(\lambda)&&&\\ &&&&0&&\\ &&&&&\ddots&\\ &&&&&&0 \end{array}} \right) ，$$
　　其中$d_1(\lambda)$，$d_2(\lambda)$，$\cdots$，$d_r(\lambda)$是首项系数为$1$的多项式，且$d_i(\lambda) \mid d_{i+1}(\lambda)$（$i=1,2,\cdots,r-1$）。不难证明，在这种形式的矩阵中，如果一个$k$级子式包含的行与列的标号不完全相同，那么这个$k$级子式一定为零。因此，为了计算$k$级行列式因子，只要看由$i_1$，$i_2$，$\cdots$，$i_k$行与$i_1$，$i_2$，$\cdots$，$i_k$列（$1 \le i_1<i_2< \cdots <i_k \le r$）组成的$k$级子式就行了，而这个$k$级子式等于
$$d_{i_1}(\lambda)d_{i_2}(\lambda) \cdots d_{i_k}(\lambda)。$$
　　显然，这种$k$级子式的最大公因式就是
$$d_1(\lambda)d_2(\lambda) \cdots d_k(\lambda)。$$

定理2　$\lambda-$矩阵的标准形是唯一的。

定义2　标准型的主对角线上非零元素$d_1(\lambda)$，$d_2(\lambda)$，$\cdots$，$d_r(\lambda)$称为$\lambda-$矩阵$A(\lambda)$的不变因子。

定理3　两个$\lambda-$矩阵等价的充分必要条件是它们有相同的行列使因子，或者，它们有相同的不变因子。

　　在$\lambda-$矩阵的行列式因子之间，有关系
$$D_k(\lambda) \mid D_{k+1}(\lambda)（k=1,2,\cdots,r-1）。$$
　　在计算$\lambda-$矩阵的行列式因子时，常常是先计算最高级的行列式因子。这样，由上式我们就大致有了低级行列式因子的范围了。
　　作为一个例子，我们来看可逆矩阵的标准形。设$A(\lambda)$为一个$n \times n$可逆矩阵，由一个$n \times n$的$\lambda-$矩阵$A(\lambda)$是可逆的充分必要条件知
$$|A(\lambda)|=d，$$
　　其中$d$是一非零常数。这就是说，
$$D_n(\lambda)=1。$$
　　于是由$D_k(\lambda) \mid D_{k+1}(\lambda)$（$k=1,2,\cdots,r-1$）可知，$D_k(\lambda)=1$（$k=1,2,\cdots,n$），从而
$$d_k(\lambda)=1（k=1,2,\cdots,n）。$$
　　因此，可逆矩阵的标准形是单位矩阵$E$。反过来，与单位矩阵等价的矩阵一定是可逆的，因为它的行列式是一个非零的数。这就是说，矩阵可逆的充分必要条件是它与单位矩阵等价。又矩阵$A(\lambda)$与$B(\lambda)$等价的充分必要条件是有一系列初等矩阵$P_1$，$P_2$，$\cdots$，$P_l$，$Q_1$，$Q_2$，$\cdots$，$Q_t$，使
$$A(\lambda)=P_1P_2 \cdots P_lB(\lambda)Q_1Q_2 \cdots Q_t。$$
　　特别地，当$B(\lambda)=E$时，就得到

定理4　矩阵$A(\lambda)$是可逆的充分必要条件是它可以表成一些初等矩阵的乘积。

　　由此又得到矩阵等价的另一条件

推论　两个$s \times n$的$\lambda-$矩阵$A(\lambda)$与$B(\lambda)$等价的充分必要条件为，有一个$s \times s$可逆矩阵$P(\lambda)$与一个$n \times n$可逆矩阵$Q(\lambda)$，使
$$B(\lambda)=P(\lambda)A(\lambda)Q(\lambda)。$$