矩阵相似的条件

castelu

引理1　如果有$n \times n$数字矩阵$P_0$，$Q_0$使
$$\lambda E-A=P_0(\lambda E-A)Q_0，$$
　　则$A$与$B$相似。

引理2　对于任何不为零的$n \times n$数字矩阵$A$和$\lambda$-矩阵$U(\lambda)$与$V(\lambda)$，一定存在$\lambda$-矩阵$Q(\lambda)$与$R(\lambda)$以及数字矩阵$U_0$和$V_0$使
$$U(\lambda)=(\lambda E-A)Q(\lambda)+U_0，$$
$$V(\lambda)=R(\lambda)(\lambda E-A)+V_0。$$

定理　设$A$，$B$是数域$P$上两个$n \times n$矩阵。$A$与$B$相似的充分必要条件是它们的特征矩阵$\lambda E-A$与$\lambda E-B$等价。

　　矩阵$A$的特征矩阵$\lambda E-A$的不变因子以后就简称为$A$的不变因子。因为两个$\lambda$-矩阵等价的充分必要条件是它们有相同的不变因子，所以由定理1即得

推论　矩阵$A$与$B$相似的充分必要条件是它们有相同的不变因子。

　　应该指出，$n \times n$矩阵的特征矩阵的秩一定是$n$。因此，$n \times n$矩阵的不变因子总是有$n$个，并且，它们的乘积就等于这个矩阵的特征多项式。
　　以上结果说明，不变因子是矩阵的相似不变量，因此我们可以把一个线性变换的任一矩阵的不变因子（它们与该矩阵的选取无关）定义为此线性变换的不变因子。