矩阵的有理标准形

castelu

定义1　对数域$P$上的一个多项式
$$d(\lambda)=\lambda^n+a_1\lambda^{n-1}+\cdots+a_n，$$
　　称矩阵
$$A= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&\cdots&0&-a_n\\ 1&0&\cdots&0&-a_{n-1}\\ 0&1&\cdots&0&-a_{n-2}\\ \vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\ 0&0&\cdots&1&-a_1 \end{array}} \right) $$
　　为多项式$d(\lambda)$的伴侣阵。

　　容易验证，$A$的不变因子（即$\lambda E-A$的不变因子）是$\underbrace{1,1,\cdots,1}_{n-1个},d(\lambda)$。

定义2　下列准对角矩阵
$$A= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} A_1&&&\\ &A_2&&\\ &&\ddots&\\ &&&A_s \end{array}} \right) ，$$
　　其中$A_i$分别是数域$P$上某些多项式$d_i(\lambda)$（$i=1,2,\cdots,s$）的伴侣阵，且满足$d_1(\lambda) \mid d_2(\lambda) \mid \cdots \mid d_s(\lambda)$，就称$A$为$P$上的一个有理标准形矩阵。

引理
$$A= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} A_1&&&\\ &A_2&&\\ &&\ddots&\\ &&&A_s \end{array}} \right) $$
　　中矩阵$A$的不变因子为$1$，$1$，$\cdots$，$1$，$d_1(\lambda)$，$d_2(\lambda)$，$\cdots$，$d_s(\lambda)$，其中$1$的个数等于$d_1(\lambda)$，$d_2(\lambda)$，$\cdots$，$d_s(\lambda)$的次数之和$n$减去$s$。

定理1　数域$P$上$n \times n$方阵$A$在$P$上相似于唯一的一个有理标准形，称为$A$的有理标准形。

　　把定理1的结论变成线性变换形式的结论就成为

定理2　设$\mathcal A$是数域$P$上$n$维线性空间的线性变换，则在$V$中存在一组基，使$\mathcal A$在该基下的矩阵是有理标准形，并且这个有理标准形由$\mathcal A$唯一决定，称为$\mathcal A$的有理标准形。