双线性函数

castelu

定义1　$V$是数域$P$上一个线性空间，$f(\alpha,\beta)$是$V$上一个二元函数，即对$V$中任意两个向量$\alpha$，$\beta$，根据$f$都唯一地对应于$P$中一个数$f(\alpha,\beta)$。如果$f(\alpha,\beta)$有下列性质：
1）$f(\alpha,k_1\beta_1+k_2\beta_2)=k_1f(\alpha,\beta_1)+k_2f(\alpha,\beta_2)$；
2）$f(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2,\beta)=k_1f(\alpha_1,\beta)+k_2f(\alpha_2,\beta)$，
其中$\alpha$，$\alpha_1$，$\alpha_2$，$\beta$，$\beta_1$，$\beta_2$是$V$中任意向量，$k_1$，$k_2$是$P$中任意数，则称$f(\alpha,\beta)$为$V$上的一个双线性函数。

　　这个定义实际上是说对于$V$上双线性函数$f(\alpha,\beta)$，将其中一个变元固定时是另一个变元的线性函数。
　　欧氏空间$V$的内积是$V$上双线性函数。
　　设$f_1(\alpha)$，$f_2(\alpha)$都是线性空间$V$上的线性函数，则
$$f(\alpha,\beta)=f_1(\alpha)f_2(\beta)，\alpha,\beta \in V$$
是$V$上的一个双线性函数。
　　设$P^n$是数域$P$上$n$维列向量构成的线性空间。$X$，$Y \in P^n$，再设$A$是$P$上一个$n$级方阵。令
$$f(X,Y)=X'AY，$$
则$f(X,Y)$是$P^n$上的一个双线性函数。
　　如果设$X'=(x_1,x_2,\cdots,x_n)$，$Y'=(y_1,y_2,\cdots,y_n)$，并设
$$A=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\
a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\
\vdots&\vdots&&\vdots\\
a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{n n}
\end{array}} \right)$$
　　则
$$f(X,Y)=\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^n a_{ij}x_iy_j。$$
　　上述实际上是数域$P$上任意$n$维线性空间$V$上的双线性函数$f(\alpha,\beta)$的一般形式。

定义2　设$f(\alpha,\beta)$是数域$P$上$n$维线性空间$V$上的一个双线性函数。$\epsilon_1$，$\epsilon_2$，$\cdots$，$\epsilon_n$是$V$的一组基，则矩阵
$$A=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
f(\epsilon_1,\epsilon_1)&f(\epsilon_1,\epsilon_2)&\cdots&f(\epsilon_1,\epsilon_n)\\
f(\epsilon_2,\epsilon_1)&f(\epsilon_2,\epsilon_2)&\cdots&f(\epsilon_2,\epsilon_n)\\
\vdots&\vdots&&\vdots\\
f(\epsilon_n,\epsilon_1)&f(\epsilon_n,\epsilon_2)&\cdots&f(\epsilon_n,\epsilon_n)
\end{array}} \right)$$
　　叫做$f(\alpha,\beta)$在$\epsilon_1$，$\epsilon_2$，$\cdots$，$\epsilon_n$下的度量矩阵。

　　上面的讨论说明，取定$V$的一组基$\epsilon_1$，$\epsilon_2$，$\cdots$，$\epsilon_n$后，每个双线性函数都对应于一个$n$级矩阵，就是这个双线性函数在基$\epsilon_1$，$\epsilon_2$，$\cdots$，$\epsilon_n$下的度量矩阵。度量矩阵被双线性函数及基唯一确定。而且不同的双线性函数在同一组基下的度量矩阵一定是不同的。
　　反之，任给数域$P$上一个$n$级矩阵
$$A=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\
a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\
\vdots&\vdots&&\vdots\\
a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{n n}
\end{array}} \right)，$$
　　对$V$中任意向量$\alpha=(\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_n)X$及$\beta=(\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_n)Y$，其中$X'=(x_1,x_2,\cdots,x_n)$，$Y'=(y_1,y_2,\cdots,y_n)$，用
$$f(\alpha,\beta)=X'AY=\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^n a_{ij}x_iy_j$$
　　定义的函数是$V$上一个双线性函数。容易计算出$f(\alpha,\beta)$在$\epsilon_1$，$\epsilon_2$，$\cdots$，$\epsilon_n$下的度量矩阵就是$A$。
　　因此，在给定的基下，$V$上全体双线性函数与$P$上全体$n$级矩阵之间有一个双射。
　　在不同的基下，同一个双线性函数的度量矩阵一般是不同的，它们之间的关系是合同的。

定义3　设$f(\alpha,\beta)$是线性空间$V$上一个双线性函数，如果
$$f(\alpha,\beta)=0，$$
　　对任意$\beta \in V$，可推出$\alpha=0$，$f$就叫做非退化的。

　　可以应用度量矩阵来判断一个双线性函数是不是非退化的。
　　双线性函数$f(\alpha,\beta)$是非退化的充要条件为其度量矩阵$A$为非退化矩阵。
　　对度量矩阵作合同变换可使度量矩阵化简。但对一般矩阵用合同变换化简是比较复杂的。对于对称矩阵我们已有较完整的理论。以下我们就转向这种特殊的也是最重要的情形。

定义4　$f(\alpha,\beta)$是线性空间$V$上的一个双线性函数，如果对$V$中任意两个向量$\alpha$，$\beta$都有
$$f(\alpha,\beta)=f(\beta,\alpha)，$$
　　则称$f(\alpha,\beta)$为对称双线性函数。如果对$V$中任意两个向量$\alpha$，$\beta$都有
$$f(\alpha,\beta)=-f(\beta,\alpha)，$$
　　则称$f(\alpha,\beta)$为反对称双线性函数。

　　双线性函数是对称的，当且仅当它在任一组基下的度量矩阵是对称矩阵。
　　同样地，双线性函数是反对称的当且仅当它在任一组基下的度量矩阵是反对称矩阵。
　　我们知道，欧式空间的内积不仅是对称双线性函数，而且它在任一组基下的度量矩阵是正定矩阵。
　　根据二次型中关于对称矩阵在合同变换下的标准形的理论，我们有下述定理。

定理1　设$V$是数域$P$上$n$维线性空间，$f(\alpha,\beta)$是$V$上对称双线性函数，则存在$V$的一组基$\epsilon_1$，$\epsilon_2$，$\cdots$，$\epsilon_n$，使$f(\alpha,\beta)$在这组基下的度量矩阵为对角矩阵。

　　如果$f(\alpha,\beta)$在$\epsilon_1$，$\epsilon_2$，$\cdots$，$\epsilon_n$下的度量矩阵为对角矩阵，那么对$\alpha=\sum\limits_{i=1}^n x_i\epsilon_i$，$\beta=\sum\limits_{i=1}^n y_i\epsilon_i$，$f(\alpha,\beta)$有表达式
$$f(\alpha,\beta)=d_1x_1y_1+d_2x_2y_2+\cdots+d_nx_ny_n。$$
　　这个表示式也是$f(\alpha,\beta)$在$\epsilon_2$，$\cdots$，$\epsilon_n$下的度量矩阵为对角形的充分条件。

推论1　设$V$是复数域上$n$维线性空间，$f(\alpha,\beta)$是$V$上对称双线性函数，则存在$V$的一组基$\epsilon_1$，$\epsilon_2$，$\cdots$，$\epsilon_n$，对$V$中任意向量$\alpha=\sum\limits_{i=1}^n x_i\epsilon_i$，$\beta=\sum\limits_{i=1}^n y_i\epsilon_i$，有
$$f(\alpha,\beta)=x_1y_1+\cdots+x_ry_r（0 \le r \le n）。$$

推论2　设$V$是实数域上$n$维线性空间，$f(\alpha,\beta)$是$V$上对称双线性函数，则存在$V$的一组基$\epsilon_1$，$\epsilon_2$，$\cdots$，$\epsilon_n$，对$V$中任意向量$\alpha=\sum\limits_{i=1}^n x_i\epsilon_i$，$\beta=\sum\limits_{i=1}^n y_i\epsilon_i$，有
$$f(\alpha,\beta)=x_1y_1+\cdots+x_py_p-x_{p+1}y_{p+1}-\cdots-x_ry_r（0 \le p \le r \le n）。$$

　　对称双线性函数与二次齐次函数是$1$-$1$对应的，我们首先给出下述定义：

定义5　设$V$是数域$P$上线性空间，$f(\alpha,\beta)$是$V$上双线性函数。当$\alpha=\beta$时，$V$上函数$f(\alpha,\beta)$称为与$f(\alpha,\beta)$对应的二次齐次函数。

　　给定$V$上一组基$\epsilon_1$，$\epsilon_2$，$\cdots$，$\epsilon_n$，设$f(\alpha,\beta)$的度量矩阵为$A=(a_{ij})_{n \times n}$，对$V$中任一向量$\alpha=\sum\limits_{i=1}^n x_i\epsilon_i$有
$$f(\alpha,\alpha)=\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^n a_{ij}x_ix_j。$$
　　式中$x_ix_j$的系数为$a_{ij}+a_{ji}$。因此如果两个双线性函数的度量矩阵分别为
$$A=(a_{ij})_{n \times n}，B=(b_{ij})_{n \times n}，$$
　　只要
$$a_{ij}+a_{ji}=b_{ij}+b_{ji}，i,j=1,2,\cdots,n，$$
那么它们对应的二次齐次函数就相同，因此有很多双线性函数对应于同一个二次齐次函数，但是如果我们要求$A$为对称矩阵，即要求双线性函数为对　　称的，那么一个二次齐次函数只对应一个对称双线性函数。从
$$f(X,Y)=X'AY$$
　　看出二次齐次函数的坐标表达式就是以前学过的二次型。它与对称矩阵是$1$-$1$对应的，而这个对称矩阵就是唯一的与这个二次齐次函数对应的对称双线性函数的度量矩阵。

　　下面讨论反对称双线性函数。

定理2　设$f(\alpha,\beta)$是$n$维线性空间$V$上的反对称双线性函数，则存在$V$的一组基$\epsilon_1$，$\epsilon_{-1}$，$\cdots$，$\epsilon_r$，$\epsilon_{-r}$，$\eta_1$，$\cdots$，$\eta_s$使
$$\left\{ \begin{array}{l}
f(\epsilon_i,\epsilon_{-i})=1,i=1,\cdots,r;\\
f(\epsilon_i,\epsilon_j)=0,i+j \ne 0;\\
f(\alpha,\eta_k)=0,\alpha \in V,k=1,\cdots,s.
\end{array} \right.$$

　　从定理1可知，$V$上的对称双线性函数$f(\alpha,\beta)$如果是非退化的，则有$V$的一组基$\epsilon_1$，$\epsilon_2$，$\cdots$，$\epsilon_n$满足
$$\left\{ \begin{array}{l}
f(\epsilon_i,\epsilon_i) \ne 0,i=1,2,\cdots,n;\\
f(\epsilon_i,\epsilon_j)=0,j \ne i;
\end{array} \right.$$
　　前面的不等式是非退化条件保证的，这样的基叫做$V$的对于$f(\alpha,\beta)$的正交基。
　　而从定理2可知，$V$上的反对称双线性函数$f(\alpha,\beta)$如果是非退化的，则有$V$的一组基$\epsilon_1$，$\epsilon_{-1}$，$\cdots$，$\epsilon_r$，$\epsilon_{-r}$使
$$\left\{ \begin{array}{l}
f(\epsilon_i,\epsilon_{-i})=1,i=1,2,\cdots,r;\\
f(\epsilon_i,\epsilon_j)=0,i+j \ne 0;
\end{array} \right.$$
　　由于非退化的条件，定理2中的$\eta_1$，$\cdots$，$\eta_s$不可能出现。因此具有非退化反对称双线性函数的线性空间一定是偶数维的。
　　对于具有非退化对称、反对称双线性函数的线性空间$V$，我们也可以将这些双线性函数看成$V$上的一个“内积”，仿照欧式空间来讨论它的度量性质，一般的长度，角度很难推广进去，但是还能讨论“正交性”、“正交基”以及保持这个双线性函数的线性变换等。

定义6　设$V$是数域$P$上的线性空间，在$V$上定义了一个非退化双线性函数，则$V$称为一个双线性度量空间。当$f$是非退化对称双线性函数时，$V$称为$P$上的正交空间；当$V$是$n$维实线性空间，$f$是非退化对称双线性函数时，$V$称为准欧式空间；当$f$是非退化反对称双线性函数时，称$V$为辛空间。有着非退化双线性函数$f$的双线性度量空间常记为$(V,f)$。