向量及其线性运算

castelu

　　既有大小，又有方向的量称为向量（或矢量）。我们用符号$a$，$b$，$c$，$\cdots$表示。
　　一个向量$a$可以用一有向线段$\vec {AB}$来表示，有向线段的长度$|\vec {AB}|$表示向量$a$的大小，从始点$A$到终点$B$的指向表示$a$的方向。
　　向量$a$的大小称为向量的长度（或模），记为$|a|$。
　　长度为零的向量称为零向量，记为$0$。
　　长度为$1$的向量称为单位向量。
　　如果一个向量能够由另一个向量经平行移动得到，则称这两个向量相等。
　　如果从同一个始点$A$在同一条直线上作等于向量$a$，$b$的有向线段$\vec {AB}$，$\vec {AC}$，其终点$B$，$C$分布在点$A$的同一侧（两侧），则称向量$a$，$b$同向（反向）。同向或反向的两向量$a$，$b$称为平行的向量，记为$a \parallel b$。与非零向量$a$同向的单位向量记为$a^0$。
　　与$a$的长度相等但反向的向量称为$a$的反向量或负向量，记为$-a$。

定义1　对于向量$a$，$b$，作有向线段$\vec {AB}=a$，$\vec {BC}=b$，把$\vec {AC}$表示的向量$c$称为向量$a$与$b$的和，记为$c=a+b$，即
$$\vec {AB}+\vec {BC}=\vec {AC}。$$

　　由此公式表示的向量加法规则称为三角形法则。
　　注：从同一始点$O$作$\vec {OA}=a$，$\vec {OB}=b$，再以$OA$和$OB$为边作平行四边形$OACB$，则对角线$\vec {OC}$也表示向量$a$与$b$的和，这称为向量的平行四边形法则。

　　向量的加法满足以下规律：
（1）$a+b=b+a$（交换律）；
（2）$(a+b)+c=a+(b+c)$（结合律）；
（3）$a+0=a$；
（4）$a+(-a)=0$。
　　其中，$a$，$b$，$c$为任意向量。

　　作为加法的逆运算，可定义减法如下。

定义2　向量的减法$a-b=a+(-b)$。

　　减法的几何意义，即$\vec {OA}-\vec {OB}=\vec {BA}$。
　　由向量加法的三角形法则容易得到三角不等式
$$|a+b| \le |a|+|b|，$$
　　其中，$a$，$b$为任意向量。其几何意义是，三角形两边之和大于第三边。这个不等式可以推广到任意有限多个向量和的情形：
$$|a+b+\cdots+l| \le |a|+|b|+\cdots+|l|。$$

定义3　实数$\lambda$与向量$a$的乘积$\lambda a$是一个向量，它的长度为$|\lambda a|=|\lambda| \cdot |a|$，它的方向当$\lambda>0$时与$a$相同，当$\lambda<0$时与$a$相反。当$\lambda=0$或$a=0$时，$\lambda a=0$。

　　设$a \ne 0$，因为$|a|^{-1}a$与$a$同向，且
$$||a|^{-1}a|=|a|^{-1}|a|=1，$$
　　所以$a^0=|a|^{-1}a$，这称为把$a$单位化。
　　对于任意的向量$a$，$b$和任意实数$\lambda$，$\mu$，数量与向量的乘法满足以下规律：
（1）$\lambda (\mu a)=(\lambda \mu)a$；
（2）$(\lambda+\mu)a=\lambda a+\mu a$；
（3）$\lambda (a+b)=\lambda a+\lambda b$。

　　向量的加法和数量与向量乘法统称为向量的线性运算。
　　设$a_i$（$i=1,2,\cdots,n$）是一组向量，$k_i$（$i=1,2,\cdots,n$）是一组实数，则$\sum\limits_{i=1}^n k_ia_i$是一个向量，称它为向量组$a_i$（$i=1,2,\cdots,n$）的一个线性组合。

定义4　平行于同一直线（平面）的向量组称为共线的（共面的）向量组。

　　两个向量共线等价于它们平行，因而共线向量组实质上是一组互相平行的向量。
　　零向量与任意向量共线，共线的向量组一定共面；若$a=\lambda b$或$b=\mu a$，则$a$与$b$共线。

定义5　若对于向量组$a_i$（$i=1,2,\cdots,n$），存在不全为$0$的实数$k_1$（$i=1,2,\cdots,n$），使
$$\sum\limits_{i=1}^n k_ia_i=0，$$
　　则称向量组$a_i$（$i=1,2,\cdots,n$）线性相关，否则称向量组线性无关。

命题1　两个向量$a$，$b$共线的充要条件是$a$，$b$线性相关。

推论　若$a$，$b$共线且$a \ne 0$，则存在唯一的实数$\lambda$使得$b=\lambda a$。

命题2　三向量$a$，$b$，$c$共面（不共面）的充要条件是$a$，$b$，$c$线性相关（线性无关）。

定理1　设$a$，$b$不共线，则$c$与$a$，$b$共面的充要条件是存在唯一的一对实数$\lambda$，$\mu$使得
$$c=\lambda a+\mu b。$$

定理2　设$a$，$b$，$c$不共面，则对空间中任一向量$d$均存在唯一的数组$(\lambda,\mu,\gamma)$使得
$$d=\lambda a+\mu b+\gamma c。$$