向量的混合积

castelu

　　我们现来讨论平行六面体$ABCD-A'B'C'D'$的体积问题。设$\vec {AB}=a$，$\vec {AD}=b$，$\vec {AA'}=c$，则底面积为$|a \times b|$，高为$|\vec {AH}|$，其中$\vec {AH}$是$c$在$a \times b$上的射影，因此
$$|\vec {AH}|=|\Pi_{a \times b}c|。$$
　　从而平行六面体的体积为
$$V=|a \times b||\Pi_{a \times b}c|=||a \times b|\Pi_{a \times b}c|=|(a \times b)\cdot c|。$$

定义　$(a \times b)\cdot c$称为向量$a$，$b$，$c$的混合积，记为$(a,b,c)$。

　　由上述讨论知道下述定理。

定理1　三个不共面向量$a$，$b$，$c$的混合积的绝对值等于以$a$，$b$，$c$为棱的平行六面体的体积。

　　混合积有以下两条常用的性质：
（1）$(a \times b)\cdot c=(b \times c)\cdot a=(c \times a)\cdot b$；
（2）$(a \times b)\cdot c=a \cdot (b \times c)$。
　　性质2表明三个有序向量的混合积中的外积与内积运算可以交换，因此混合积记作$(a,b,c)$。

　　取仿射标架$\left\{O;e_1,e_2,e_3 \right\}$，设$a=(a_1,a_2,a_3)$，$b=(b_1,b_2,b_3)$，$c=(c_1,c_2,c_3)$，则
$$(a \times b)\cdot c=(\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
a_1&a_2\\
b_1&b_2
\end{array}} \right|e_1 \times e_2+\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
a_2&a_3\\
b_2&b_3
\end{array}} \right|e_2 \times e_3+\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
a_3&a_1\\
b_3&b_1
\end{array}} \right|e_3 \times e_1) \cdot (\sum\limits_{i=1}^3 c_ie_i)$$
$$(c_3\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
a_1&a_2\\
b_1&b_2
\end{array}} \right|+c_1\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
a_2&a_3\\
b_2&b_3
\end{array}} \right|+c_2\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
a_3&a_1\\
b_3&b_1
\end{array}} \right|) \cdot (e_1,e_2,e_3)$$
$$=\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
a_1&a_2&a_3\\
b_1&b_2&b_3\\
c_1&c_2&c_3
\end{array}} \right|(e_1,e_2,e_3)。$$
　　于是，只要知道$(e_1,e_2,e_3)$，就可按上式计算$(a,b,c)$。
　　如果$\left\{O;e_1,e_2,e_3 \right\}$是右手直角标架，则$(e_1,e_2,e_3)=1$，从而得到下面的定理。

定理2　在右手直角坐标系中，设$a=(a_1,a_2,a_3)$，$b=(b_1,b_2,b_3)$，$c=(c_1,c_2,c_3)$，则
$$(a,b,c)=\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
a_1&a_2&a_3\\
b_1&b_2&b_3\\
c_1&c_2&c_3
\end{array}} \right|。$$

　　定理2表明了三阶行列式的几何意义：三阶行列式的绝对值等于其三个行（或列）向量在右手直角坐标系中构成的平行六面体的体积。