度量关系

castelu

　　设直线$l$过点$M_0$，方向向量为$v$，点$M$到直线$l$的距离$d$是以$\vec {M_0M}$，$v$为邻边的平行四边形的底边$v$上的高，因此有
$$d=\frac{\vec {|M_0M} \times v|}{|v|}。$$

命题1　在直角坐标系中，点$P_1(x_1,y_1,z_1)$到平面
$$\Pi：Ax+By+Cz+D=0$$
　　的距离为
$$d=\frac{|Ax_1+By_1+Cz_1+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}。$$

　　作$P_1$到平面$\Pi$的垂线，设垂足为$P_0(x_0,y_0,z_0)$，则$P_1$到平面$\Pi$的距离$d=|\vec {P_0P_1}|$。平面$\Pi$的一个法向量为$n=(A,B,C)$，因为$\vec {P_0P_1} \parallel n$，所以
$$\vec {P_0P}=\delta n^0。$$
上式中的$\delta$称为点$P_1$到平面$\Pi$的离差。
$$|\delta|=\frac{|Ax_1+By_1+Cz_1+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}。$$
　　平面$\Pi$把空间中不在平面上的点分成两部分，$\Pi$的法向量所指的那一部分称为$\Pi$的正侧，另一部分叫做$\Pi$的负侧。设平面$\Pi$的方程为
$$Ax+By+Cz+D=0，$$
由离差的定义易知点$P(x,y,z)$在$\Pi$的正侧（或负侧）的充要条件是$P(x,y,z)$满足不等式$Ax+By+Cz+D>0$（或$Ax+By+Cz+D<0$）。换句话说，如果$P_i(x_i,y_i,z_i)$（$i=1,2$）不在平面$\Pi$上，那么$P_1$，$P_2$位于平面$\Pi$同侧的充要条件是$F_i=Ax_i+By_1+Cz_i+D$（$i=1,2$）同号。这个结论在仿射坐标系中也成立。

定义　两直线$l_1$，$l_2$上的点之间的最短距离叫这两直线间的距离，记为$d(l_1,l_2)$。

　　如果$l_1 \parallel l_2$，则$l_1$上的任一个点到$l_2$的距离就是$l_1$与$l_2$间的距离；如果$l_1$与$l_2$相交或重合，则$d(l_1,l_2)=0$。
　　下设$l_1$与$l_2$异面，$l_i$过点$M_i$，方向向量为$v_i$（$i=1,2$），$v_1$，$v_2$不共线。

命题2　两条异面直线$l_1$，$l_2$的距离为
$$d(l_1,l_2)=\frac{(\vec {M_1M_2},v_1,v_2)}{v_1 \times v_2}。$$

　　两异面直线的公垂线存在且唯一。
　　两直线相交或异面，直线与平面相交，两平面相交都涉及角度问题，我们可以利用向量的内积及其夹角的关系求得这些角度。
（1）直线与直线的夹角。若两直线$l_1$，$l_2$（相交或异面）的方向向量为$v_1$，$v_2$，则$l_1$与$l_2$所夹角度$\alpha$为$\angle (v_1,v_2)$或$\pi-\angle (v_1,v_2)$，满足$\cos \alpha=\pm \frac{v_1 \cdot v_2}{|v_1||v_2|}$。
（2）直线与平面的夹角。直线$l$与平面$\Pi$（$l$不垂直于$\Pi$）的夹角定义为$l$与它在$\Pi$上的垂直投影直线所夹的锐角$\theta$；当$l$与$\Pi$垂直时，$l$与$\Pi$的夹角规定为$\frac{\pi}{2}$。
　　设$\Pi$的法向量为$n$，$l$的方向向量为$v$，则
$$\theta=\frac{\pi}{2}-\angle (n,v)，$$
　　或
$$\theta=\angle (n,v)-\frac{\pi}{2}，$$
　　因此
$$\sin \theta=|\cos \angle (n,v)|。$$
（3）平面与平面的夹角。设两平面的方程为$\Pi_i$：$A_ix+B_iy+C_iy+D_i=0$，$i=1,2$，则$\Pi_i$的法向量为$n_i=(A_i,B_i,C_i)$。
　　设$\theta=\angle (n_1,n_2)$，$\Pi_1$与$\Pi_2$之间的角（二面角）以$\angle (\Pi_1,\Pi_2)$来表示，则易知
$$\angle (\Pi_1,\Pi_2)=\theta或\pi-\theta。$$
　　因而
$$\cos \angle (\Pi_1,\Pi_2)=\pm \frac{n_1,n_2}{|n_1||n_2|}。$$
　　由此得到两平面$\Pi_1$与$\Pi_2$垂直的充要条件是
$$A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2=0。$$