空间曲面和空间曲线的方程

castelu

　　设空间中有曲面$S$。如果曲面$S$上每一点的坐标都满足方程
$$F(x,y,z)=0，$$
　　反之，任何满足上式的数组$(x,y,z)$一定是曲面$S$上的某个点的坐标，那么方程就称为曲面$S$的一般方程，曲面$S$称为方程对应的曲面。
　　如果曲面$S$上点的坐标表示成两个参数$(u,v)$的函数，由它们给出的方程组
$$\left\{ \begin{array}{l}
x=f_1(u,v),\\
y=f_2(u,v),\\
z=f_3(u,v),
\end{array} \right.(u,v) \in D$$
　　称为曲面$S$的参数方程。其中$D$是$uv$平面上的区域，对于每一对$(u,v) \in D$的值，由上式确定的点$(x,y,z)$在$S$上；而$S$上任一点的坐标都可由$(u,v) \in D$的某一对值通过上式表示。于是通过曲面的参数方程，曲面上的点（可能要除去个别点）便可由数对$(u,v) \in D$来确定。
　　设空间中有一条曲线$\Gamma$，如果曲线$\Gamma$上每一个点的坐标都满足方程组
$$\left\{ \begin{array}{l}
F(x,y,z)=0,\\
G(x,y,z)=0.
\end{array} \right.$$
　　反之，任何满足上式的数组$(x,y,z)$都是曲线$\Gamma$上某个点的坐标，那么称上式为曲线$\Gamma$的一般方程，曲线$\Gamma$称为方程组对应的曲线。空间曲线可视为两曲面的交线。
　　如果曲线$\Gamma$上点的坐标是某个参数$t$的函数，由它们给出的方程组
$$\left\{ \begin{array}{l}
x=\phi_1(t),\\
y=\phi_2(t),\\
z=\phi_3(t),
\end{array} \right.t \in I$$
　　称为曲线$\Gamma$的参数方程。其中$I$是区间，对于$t \in I$的每一个值，由上式确定的点$(x,y,z)$在$\Gamma$上，而$\Gamma$上任一点的坐标都可由$t \in I$的某个值通过上式表示。