坐标变换

castelu

　　平面上给了两个仿射坐标系$\sigma_1=\left\{O;e_1,e_2 \right\}$，$\sigma_2=\left\{O';e'_1,e'_2 \right\}$。我们研究同一个点（向量）在$\sigma_1$和$\sigma_2$下的坐标之间的关系。设$O'$在$\sigma_1$下的坐标为$(x_0,y_0)$，$e'_1$，$e'_2$在$\sigma_1$下的坐标分别是$(a_{11},a_{21})$，$(a_{12},a_{22})$，点$M$在$\sigma_1$和$\sigma_2$下的坐标分别为$(x,y)$和$(x',y')$。
　　因为
$$\vec {OM}=\vec {OO'}+\vec {O'M}$$
$$=(x_0e_1+y_0e_2)+(x'e'_1+y'e'_2)$$
$$=x_0e_1+y_0e_2+x'(a_{11}e_1+a_{21}e_2)+y'(a_{12}e_1+a_{22}e_2)$$
$$(x_0+a_{11}x'+a_{12}y')e_1+(y_0+a_{21}x'+a_{22}y')e_2$$
$$=xe_1+ye_2，$$
　　所以
$$\left\{ \begin{array}{l}
x=a_{11}x'+a_{12}y'+x_0,\\
y=a_{21}x'+a_{22}y'+y_0.
\end{array} \right.$$
　　将上式写成矩阵形式
$$\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
x\\
y\end{array}} \right)=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
a_{11}&a_{12}\\
a_{21}&a_{22}
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
x'\\
y'
\end{array}} \right)+\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
x_0\\
y_0
\end{array}} \right)，$$
　　或
$$\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
x-x_0\\
y-y_0\end{array}} \right)=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
a_{11}&a_{12}\\
a_{21}&a_{22}
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
x'\\
y'
\end{array}} \right)。$$
　　上式称为从$\sigma_1$到$\sigma_2$的点的仿射坐标变换公式。
　　设向量$a$在$\sigma_1$下的坐标为$(u,v)$，在$\sigma_2$下的坐标为$(u',v')$，则
$$a=u'e'_1+v'e'_2=u'(a_{11}e_1+a_{21}e_2)+v'(a_{12}e_1+a_{22}e_2)$$
$$=(u'a_{11}+v'a_{12})e_1+(u'a_{21}+v'a_{22})e_2$$
$$=ue_1+ve_2，$$
　　因此
$$\left\{ \begin{array}{l}
u=a_{11}u'+a_{12}v',\\
v=a_{21}u'+a_{22}v'.
\end{array} \right.$$
　　将它写成矩阵形式
$$\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
u\\
v\end{array}} \right)=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
a_{11}&a_{12}\\
a_{21}&a_{22}
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
u'\\
v'
\end{array}} \right)。$$
　　上式称为从$\sigma_1$到$\sigma_2$的向量的仿射坐标变换公式。
　　$\sigma_1$和$\sigma_2$的坐标向量之间的关系为
$$\left\{ \begin{array}{l}
e'_1=a_{11}e_1+a_{12}e_2,\\
e'_2=a_{21}e_1+a_{22}e_2,
\end{array} \right.$$
　　形式上可写成
$$(e'_1,e'_2)=(e_1,e_2)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
a_{11}&a_{12}\\
a_{21}&a_{22}
\end{array}} \right)，$$
　　矩阵$A=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
a_{11}&a_{12}\\
a_{21}&a_{22}
\end{array}} \right)$称为从坐标系$\sigma_1$到坐标系$\sigma_2$的过渡矩阵。
　　过渡矩阵$A$的行列式$\det A \ne 0$，即$A$是可逆的。
　　如果$\sigma_1$和$\sigma_2$都是直角坐标系，则从$\sigma_1$到$\sigma_2$的过渡矩阵$A$是正交矩阵，从$\sigma_2$到$\sigma_1$的过渡矩阵是$A^T$。
　　注：$\sigma_1$与$\sigma_2$为同定向的直角坐标系的重要条件是$A$为正交矩阵且$\det A=1$，此时$A=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
\cos \theta&-\sin \theta\\
\sin \theta&\cos \theta
\end{array}} \right)$；$\sigma_1$与$\sigma_2$为反定向的直角坐标系的重要条件是$A$为正交矩阵且$\det A=-1$，此时$A=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
\cos \theta&\sin \theta\\
\sin \theta&-\cos \theta
\end{array}} \right)$；其中，$0 \le \theta < 2\pi$。
　　设$\sigma_1$与$\sigma_2$均为右手直角坐标系，$O'(x_0,y_0)$，$e_1$到$e'_1$的转角（逆时针方向）为$\theta$，则
$$\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
x\\
y\end{array}} \right)=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
\cos \theta&-\sin \theta\\
\sin \theta&\cos \theta
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
x'\\
y'
\end{array}} \right)+\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
x_0\\
y_0
\end{array}} \right)。$$
　　若$\theta=0$，则
$$\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
x\\
y\end{array}} \right)=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&0\\
0&1
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
x'\\
y'
\end{array}} \right)+\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
x_0\\
y_0
\end{array}} \right)=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
x'+x_0\\
y'+y_0\end{array}} \right)，$$
　　上式就是移轴公式。
　　若$O$与$O'$重合，则
$$\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
x\\
y\end{array}} \right)=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
\cos \theta&-\sin \theta\\
\sin \theta&\cos \theta
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
x'\\
y'
\end{array}} \right)，$$
　　上式就是转角为$\theta$的转轴公式。
　　平面上的任一右手直角坐标变换都可以经过移轴和转轴得到。
　　设$\sigma_1=\left\{O;e_1,e_2,e_3 \right\}$，$\sigma_2=\left\{O';e'_1,e'_2,e'_3 \right\}$是空间的两个仿射坐标系，在$\sigma_1$下，$e'_i$的坐标为$(a_{1i},a_{2i},a_{3i})$，$i=1,2,3$，那么形式上有
$$(e'_1.e'_2.e'_3)=(e_1,e_2,e_3)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
a_{11}&a_{12}&a_{13}\\
a_{21}&a_{22}&a_{23}\\
a_{31}&a_{32}&a_{33}
\end{array}} \right)，$$
　　其中矩阵$A=(a_{ij})$称为从$\sigma_1$到$\sigma_2$的过渡矩阵，且是可逆的。
　　设点$M$在$\sigma_1$和$\sigma_2$下的坐标分别为$(x,y,z)$，$(x',y',z')$，$O'$在$\sigma_1$下的坐标为$(x_0,y_0,z_0)$，向量$a$为$\sigma_1$和$\sigma_2$下的坐标分别为$(a_1,a_2,a_3)$，$(a'_1,a'_2,a'_3)$，那么使用平面的坐标变换公式的推导方法可以得到
$$\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
x\\
y\\z\end{array}} \right)=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
a_{11}&a_{12}&a_{13}\\
a_{21}&a_{22}&a_{23}\\
a_{31}&a_{32}&a_{33}
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
x'\\
y'\\z'
\end{array}} \right)+\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
x_0\\
y_0\\z_0
\end{array}} \right)，$$
　　上式称为从$\sigma_1$到$\sigma_2$的点的仿射坐标变换公式，
$$\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
a_1\\
a_2\\a_3\end{array}} \right)=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
a_{11}&a_{12}&a_{13}\\
a_{21}&a_{22}&a_{23}\\
a_{31}&a_{32}&a_{33}
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
a'_1\\
a'_2\\a'_3
\end{array}} \right)，$$
　　上式称为从$\sigma_1$到$\sigma_2$的向量的仿射坐标变换公式。
　　如果$\sigma_1$，$\sigma_2$都是直角坐标系，则可以证明$A$是正交矩阵。进一步，如果$\sigma_1$，$\sigma_2$是同定向的，那么$\det A=1$；如果$\sigma_1$，$\sigma_2$是反定向的，那么$\det A=-1$。