切线、切平面

castelu

定义1　如果直线$l$与二次曲面$S$有两个重合的交点或$l$在$S$上，则称$l$为$S$的切线，交点称为切点。

　　设直线$l$过点$M_0(x_0,y_0,z_0) \in S$，方向为$X$：$Y$：$Z$，则$l$与$S$有两个重合的交点当且仅当
$$\left\{ \begin{array}{l}
\Phi(X,Y,Z) \ne 0,\\
XF_1(x_0,y_0,z_0)+YF_2(x_0,y_0,z_0)+ZF_3(x_0,y_0,z_0)=0.
\end{array} \right.$$
　　$l$在$S$上当且仅当
$$\left\{ \begin{array}{l}
\Phi(X,Y,Z)=0,\\
XF_1(x_0,y_0,z_0)+YF_2(x_0,y_0,z_0)+ZF_3(x_0,y_0,z_0)=0.
\end{array} \right.$$
　　故经过$M_0 \in S$的直线$l$是$S$的切线当且仅当
$$XF_1(x_0,y_0,z_0)+YF_2(x_0,y_0,z_0)+ZF_3(x_0,y_0,z_0)=0。$$
（1）$F_i(x,y,z)$（$i=1,2,3$）不全为零
　　由直线$l$的方程
$$\left\{ \begin{array}{l}
x=x_0+tX,\\
y=y_0+tY,\\z=z_0+tZ.
\end{array} \right.$$
　　有$X$：$Y$：$Z$$=$$(x-x_0)$：$(y-y_0)$：$(z-z_0)$，将此代入
$$XF_1(x_0,y_0,z_0)+YF_2(x_0,y_0,z_0)+ZF_3(x_0,y_0,z_0)=0$$
　　得
$$(x-x_0)F_1(x_0,y_0,z_0)+(y-y_0)F_2(x_0,y_0,z_0)+(z-z_0)F_3(x_0,y_0,z_0)=0。$$
　　上式表示一个平面，即过点$M_0 \in S$的所有切线上的点构成一个平面。

定义2　二次曲面$S$上一点处的所有切线上的点构成的平面称为$S$的切平面，此点称为切点。
（2）$F_i(x,y,z)=0$（$i=1,2,3$）
　　此时
$$XF_1(x_0,y_0,z_0)+YF_2(x_0,y_0,z_0)+ZF_3(x_0,y_0,z_0)=0$$
　　成为恒等式，它对任何方向都满足，故过点$M_0$的任何一条直线都是$S$的切线。

定义3　若过点$M_0 \in S$的每一条直线都是$S$的切线，则称点$M_0$是$S$的奇异点。$S$的非奇异点，称为$S$的正常点。

　　由以上的讨论知道以下命题。

命题
（1）正常点处有唯一的切平面，方程为
$$(x-x_0)F_1(x_0,y_0,z_0)+(y-y_0)F_2(x_0,y_0,z_0)+(z-z_0)F_3(x_0,y_0,z_0)=0。$$
（2）$M_0$为奇异点当且仅当$F_i(x_0,y_0,z_0)=0$，$i=1,2,3,4$。

　　如果$M_0 \notin S$，则过$M_0$的切线$l$不可能在$S$上，故过$M_0$的直线$l$为$S$的切线当且仅当
$$\left\{ \begin{array}{l}
\Phi(X,Y,Z) \ne 0,\\
[XF_1(x_0,y_0,z_0)+YF_2(x_0,y_0,z_0)+ZF_3(x_0,y_0,z_0)]^2-\Phi(X,Y,Z)F(x_0,y_0,z_0)=0.\end{array} \right.$$
　　对切线$l$上的任意点$(x,y,z)$都有
$$(x-x_0)：(y-y_0)：(z-z_0)=X：Y：Z，$$
　　将之代入上式中得
$$[(x-x_0)F_1(x_0,y_0,z_0)+(y-y_0)F_2(x_0,y_0,z_0)+(z-z_0)F_3(x_0,y_0,z_0)]^2-\Phi(x-x_0,y-y_0,z-z_0)F(x_0,y_0,z_0)=0，$$
　　它是关于$x-x_0$，$y-y_0$，$z-z_0$的二次齐次方程，即表示以$M_0$为顶点的二次锥面，称为$S$的切锥。

定义4　若过$M_0 \in S$的直线$l$与$M_0$处的切平面垂直，则称直线$l$为$S$在$M_0$处的法线。

　　由此定义得法线方程
$$\frac{x-x_0}{F_1(x_0,y_0,z_0)}=\frac{y-y_0}{F_2(x_0,y_0,z_0)}=\frac{z-z_0}{F_3(x_0,y_0,z_0)}。$$
　　对二次曲线$\Gamma$而言，切线、法线、正常点、奇异点同样地定义。过点$M_0(x_0,y_0)  \in \Gamma$，方向向量为$X$：$Y$的直线为$\Gamma$的切线当且仅当
$$XF_1(x_0,y_0)+YF_2(x_0,y_0)=0。$$
　　由此得切线方程为
$$(x-x_0)F_1(x_0,y_0)+(y-y_0)F_2(x_0,y_0)=0。$$
　　法线方程为
$$\frac{x-x_0}{F_1(x_0,y_0)}=\frac{y-y_0}{F_2(x_0,y_0)}。$$
　　过曲线$\Gamma$外的一点$M_0$的直线为$\Gamma$的切线当且仅当
$$\left\{ \begin{array}{l}
\Phi(X,Y) \ne 0,\\
[XF_1(x_0,y_0)+YF_2(x_0,y_0)]^2-\Phi(X,Y)F(x_0,y_0)=0.\end{array} \right.$$
　　因而切线上的点$(x,y)$满足
$$[(x-x_0)F_1(x_0,y_0)+(y-y_0)F_2(x_0,y_0)]^2-\Phi(x-x_0,y-y_0)F(x_0,y_0)=0。$$
　　上式的左端是$x-x_0$，$y-y_0$的二次齐次多项式或零多项式。若为前者，当它可以分解为两个实系数一次因式的乘积时，便得到过$M_0$的两条直线，如果这两条直线的方向为非渐近方向，则它们是过$M_0$的$\Gamma$的切线；如果这两条直线的方向是渐近方向，则过$M_0$的$\Gamma$的切线不存在。当它在实数范围内不能分解时，则过$M_0$没有$\Gamma$的实切线；若为后者，则过$M_0$的沿非渐近方向的任意直线均为$\Gamma$的切线。