空间的正交变换与仿射变换

castelu

　　与平面的情形一样，可以讨论空间的刚体运动、正交变换与仿射变换。

定义1　空间的一个点变换，如果保持点之间的距离不变，称之位正交（点）变换（或等距变换）。

　　空间中取定一点$O$，取定一向量$v$，对于任意一点$P$，规定它在映射$\sigma$下的像$P'$满足
$$\vec {OP'}=\vec {OP}+v，$$
　　则称$\sigma$是沿方向$v$的平移。易见平移保持点之间的距离不变，因此，平移是正交变换。
　　空间中所有点绕一定直线的旋转是正交变换。
　　取定一平面$\Pi$，设映射$\sigma$把空间中每一个点对应到它关于平面$\Pi$的对称点，则$\sigma$称为关于平面$\Pi$的镜面反射，简称反射，镜面反射是正交变换。

　　空间的正交变换有如下性质。

性质1　恒等变换是正交变换。

性质2　正交变换的乘积是正交变换。

性质3　正交变换是双射，正交变换的逆变换是正交变换。

　　由以上三个性质得，空间的正交变换全体组成的集合是空间的一个变换群，称为空间的正交变换群，简称为正交群。

　　由正交点变换诱导的正交向量变换有如下性质。

性质4　正交变换保持向量的内积不变，保持向量的线性关系不变。

　　由性质4很容易得到下列性质。

性质5　正交变换将直线变成直线，并保持共线三点的简单比不变。

性质6　正交变换将平面变成平面，将相交平面变成相交平面，将平行平面变成平行平面。

定理1　正交变换$\sigma$将直角标架$I$变成直角标架$II$，且使任一点$P$的$I$坐标等于$\sigma (P)$的$II$坐标。反之，具有此性质的点变换一定是正交变换。

定理2　空间的正交（点）变换$\sigma$在一直角坐标系中的公式为
$$\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
x'\\
y'\\
z'
\end{array}} \right)=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
a_{11}&a_{12}&a_{13}\\
a_{21}&a_{22}&a_{23}\\
a_{31}&a_{32}&a_{33}
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
x\\
y\\
z
\end{array}} \right)+\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
a_1\\
a_2\\
a_3
\end{array}} \right)，$$
　　其中，$A=(a_{ij})$是正交矩阵。
　　反之，如果空间的一个点变换$\sigma$在一个直角坐标系中的公式为上式，且系数矩阵$A=(a_{ij})$是正交矩阵，则$\sigma$是正交（点）变换。

定义2　空间的正交变换$\sigma$，若它在直角坐标系中的公式的系数矩阵$A$的行列式$|A|=+1$，则称$\sigma$是第一类的；若$|A|=-1$，则称$\sigma$是第二类的。

　　设$\sigma$是空间中所有点绕一定直线的转角为$\theta$的旋转。以$l$为$z$轴建立直角坐标系$I=\left\{O;e_1,e_2,e_3 \right\}$，$\sigma$把$I$变成直角坐标系$II=\left\{O;e'_1,e'_2,e'_3 \right\}$，则有
$$e'_1=e_1\cos \theta+e_2\sin \theta，$$
$$e'_2=-e_1\sin \theta+e_2\cos \theta，$$
$$e'_3=e_3。$$
　　因此从$I$到$II$的坐标变换公式为
$$\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
x\\
y\\
z
\end{array}} \right)=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
\cos \theta&-\sin \theta&0\\
\sin \theta&\cos \theta&0\\
0&0&1
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
\widetilde x\\
\widetilde y\\
\widetilde z
\end{array}} \right)。$$
　　空间中任取一点$P$，设$P$的$I$坐标为$(x,y,z)$，$\sigma (P)=P'$的$I$坐标为$(x',y',z')$。由定理1，$P'$的$II$坐标为$(x,y,z)$。对$P'$应用上式得
$$\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
x'\\
y'\\
z'
\end{array}} \right)=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
\cos \theta&-\sin \theta&0\\
\sin \theta&\cos \theta&0\\
0&0&1
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
x\\
y\\
z
\end{array}} \right)。$$
　　现在把上式的右端的$(x,y,z)$理解为$P$的$I$坐标，则上式就是旋转$\sigma$在直角坐标系$I$中的公式。易见$\sigma$是第一类的。
　　设$\tau$是关于平面$\Pi$的镜面反射，以$\Pi$为$xOy$面建立一直角坐标系，则$\tau$的公式为
$$\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
x'\\
y'\\
z'
\end{array}} \right)=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&0&0\\
0&1&0\\
0&0&-1
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
x\\
y\\
z
\end{array}} \right)，$$
　　易知反射是第二类的。

命题1　若$\sigma$是第一类正交变换，且保持原点不动，则$\sigma$必定是绕过原点的某一条定直线的旋转。

命题2　若$\sigma$是第二类正交变换，且保持原点不动，则$\sigma$必是一个镜面反射，或是一个镜面反射与一个绕定直线的旋转的乘积。

　　空间的（刚体）运动是平移，或绕定直线的旋转，或它们的乘积。
　　于是由以上两个命题得下面的定理。

定理3　空间的正交变换或者是运动，或者是一个运动与一个镜面反射的乘积。

定义3　空间的一个点变换$\tau$，如果$\tau$在一个仿射坐标系中的公式为
$$\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
x'\\
y'\\
z'
\end{array}} \right)=A\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
x\\
y\\
z
\end{array}} \right)+\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
a_1\\
a_2\\
a_3
\end{array}} \right)，$$
　　其中，系数矩阵$A$是可逆的，则称$\tau$是空间的仿射点变换。

　　此定义与仿射坐标系的选择无关。

　　空间的仿射变换的性质有：
（1）恒等变换是仿射变换；
（2）两个仿射变换的乘积仍然是仿射变换；
（3）仿射变换是双射，它的逆变换是仿射变换；
（4）仿射点变换诱导的仿射向量变换保持向量的线性关系不变；
（5）仿射变换把直线变成直线，且保持共线三点的简单比不变；
（6）仿射变换把平面变成平面，相交平面变成相交平面，平行平面变成平行平面。
　　由性质（1）、（2）、（3）知道，空间的仿射变换的全体组成的集合是空间的一个变换群，称为仿射变换群，简称仿射群。

定理4　仿射变换$\tau$将一个仿射标架$I$变成仿射标架$II$，且任一点$P$的$I$坐标等于$\tau (P)=P'$的$II$坐标。反之，具有此性质的空间的点变换是仿射变换。

定理5　空间的任何一个仿射变换可分解为一个正交变换与一个沿三个互相垂直方向伸缩的乘积。

定理6　设仿射变换$\tau$由公式
$$\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
x'\\
y'\\
z'
\end{array}} \right)=A\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
x\\
y\\
z
\end{array}} \right)+\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
a_1\\
a_2\\
a_3
\end{array}} \right)$$
　　给出，则$\tau$按同一比值（$\det A$的绝对值）改变任意空间区域的体积。

　　我们用直角坐标系变换将二次曲面的一般方程化简，得到$17$种曲面的结论。由于直角坐标变换公式和正交变换公式的形式是一样的，所以我们可以将二次曲面分类定理改述为二次曲面的度量分类定理。

定理7　在直角坐标系中任意二次曲面度量等价于下列曲面之一：
（1）$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}-1=0$；（2）$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}+1=0$；
（3）$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}-1=0$；（4）$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}+1=0$；
（5）$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0$；（6）$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=0$；
（7）$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-2z=0$；（8）$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-2z=0$；
（9）$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-1=0$；（10）$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+1=0$；
（11）$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-1=0$；（12）$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=0$；
（13）$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=0$；（14）$x^2-2py=0$；
（15）$x^2-a^2=0$；（16）$x^2+a^2=0$；
（15）$x^2=0$。
　　其中，$a$，$b$，$c$，$p$均为正数。这$17$种二次曲面彼此不度量等价，且同一种方程表示的曲面如果系数有不同时，它们也不度量等价。因此，二次曲面共有无穷多个度量等价类。

　　在定理7的各方程中，再进行一适当的仿射变换，就可得到二次曲面的仿射分类定理。

定理8　二次曲面仿射等价于下列曲面之一：
（1）$x^2+y^2+z^2-1=0$；（2）$x^2+y^2+z^2+1=0$；
（3）$x^2+y^2-z^2-1=0$；（4）$x^2+y^2-z^2+1=0$；
（5）$x^2+y^2-z^2=0$；（6）$x^2+y^2+z^2=0$；
（7）$x^2+y^2-z=0$；（8）$x^2-y^2-z=0$；
（9）$x^2+y^2-1=0$；（10）$x^2+y^2+1=0$；
（11）$x^2-y^2-1=0$；（12）$x^2+y^2=0$；
（13）$x^2-y^2=0$；（14）$x^2-y=0$；
（15）$x^2-1=0$；（16）$x^2+1=0$；
（17）$x^2=0$

　　于是二次曲面的仿射等价类共有$17$类。