不定方程

算术研究

p^2+2=3q^2,这个方程有正整数解吗？如果有，是多少？

[ 本帖最后由 算术研究 于 2008-8-8 13:03 编辑 ]

lzk05_lzk0530

这是广义Pell方程，同余是求不了的。
p、q的所有正整数解可以用下式求出：
p+√3q=(1+√3)(2+√3)n-1
其中n是正整数。
其中p、q最小的前十个解是：
p=1，q=1；
p=5，q=3；
p=19，q=11；
p=71，q=41；
p=265，q=153；
p=989，q=571；
p=3691，q=2131；
p=13775，q=7953；
p=51409，q=29681；
p=191861，q=110771。

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正完全平方数末尾是0，1，4，5，6，9
易得（p，q）=（1，1），（5，3), (19,11)这几组解是存在的
至于剩下的解，应该要用不定方程相关知识来说明。

[ 本帖最后由 lzk05_lzk0530 于 2008-8-8 15:41 编辑 ]

lzk05_lzk0530

（p+q)*(p-q)=2q^2-2=2(q+1）*（q-1）
因为p+q和p-q奇偶性相同，右边一定是偶数，所以p+q和p-q都是偶数
正如我上面写的，q可以从1开始取，一个一个枚举，但最终的解答要完成还是需要理论说明，我现在还是在想。

算术研究

对于一般的pell方程要怎么解？这个方程我可以用另一种方法解出来，但是对于一般的我还没想到怎么解了。