趣味数字：完全平方数(1)

zhshiling

1.若n是正整数，3n+1是一平方数，试证：n+1是3个平方数之和
2.证明连续四个自然数的积加1是一个完全平方数


[ 本帖最后由 zhshiling 于 2008-8-26 08:55 编辑 ]

7474126

你的第一问如果N等于8，是不是就不成立了？

7474126

错了，可以，不好意思

zhshiling

楼上好像还没知道门路啊

第一问 n=8时，
3n+1 = 25 符合题意
n+1 = 9 = 4+4 +1 也是符合题意的啊

对于第一题我这里给出一些提示
n = 1，3n+1 = 4 ， n+1 = 2 = 1+1 +0
n=  5，3n+1 = 16，n+1 = 6=1+1+4
n=  8，3n+1 = 25，n+1=9 = 4+4+1
n=16，3n+1 =49 ，n+1=17 =4+4+9

这道题要证明对于所有符合题意的n都成立
其实还是要考虑整除性
n = 1，3n+1 = 4 ， n+1 = 2 = 1+1 +0
3n = 4-1 = (2+1)(2-1)
n=  5，3n+1 = 16，n+1 = 6=1+1+4
3n = 16-1 = (4+1)(4-1)

进一步抽象
3n = a^2-1 = (a+1)(a-1)
考虑n和a-1，n+1的关系
从而构造出n的一个表达式

数的整除可以参见本专题中
数论基础知识：数的整除(1)

[ 本帖最后由 zhshiling 于 2008-8-26 08:38 编辑 ]

luxiao200888

解设3n+1=(3a+r)^2 其中r=+-1,a>=2整数
展开可得n=3a^2+2ra
带入n+1
3a^2+2ra+1=a^2+a^2+(a+r)^2

[ 本帖最后由 luxiao200888 于 2008-8-30 13:46 编辑 ]

luxiao200888

第二个 设这列数字为a,a+1,a+2,a+3   其中a为自然数
有题目得:a(a+1)(a+2)(a+3)+1
=a(a+3)(a+1)(a+2)+1
=(a^2+3a)(a^2+3a+2)+1
=(a^2+3a)^2+2(a^2+3a)+1
=(a^2+3a+1)^2

zhshiling

貌似第一题做的太那个了
容易产生误会啊

巫师无视

本来就是这么简单的

luxiao200888

额～～分开不久好了～～

sunzhibin011

我晕啊